解析幾何中的“斜化直”初探

解析幾何中圓錐曲線問題基本上牽涉到直線，而直線最終可歸結(jié)為與坐標(biāo)軸平行與否兩種情形，也就是斜與直的情形，而斜化直思想在解析幾何教學(xué)、思維訓(xùn)練、課后練習(xí)、總復(fù)習(xí)等方面有獨(dú)到的作用.

一、 “斜化直”基本思想

斜：指解析幾何中與坐標(biāo)軸不平行的直線（線段）.

直：指解析幾何中與坐標(biāo)軸平行（含重合）的直線（線段）.

思想：遇斜化直.

二、解析幾何教學(xué)中一些“斜化直”實(shí)例

1.兩點(diǎn)間距離公式

【例2】 如圖2所示，M（x0，y0）是橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)

上一點(diǎn)，F(xiàn)1(-c，0)、F2(c，0)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線l：x=a2c，連結(jié)MF2，過點(diǎn)M作直線l的垂線，垂足為N，｜MF2｜=r，｜MN｜=d，求證r=a-ex0.

【例3】 如圖3所示，M（x0，y0）是雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)

上一點(diǎn)，F(xiàn)1(-c，0)、F2(c，0)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線l：x=a2c，連結(jié)MF2，過點(diǎn)M作直線l的垂線，垂足為N，｜MF2｜=r，｜MN｜=d，求證：r=｜a-ex0｜.

【例4】 如圖4所示，M（x0，y0）是拋物線x2=2py(p＞0)上一點(diǎn)，焦點(diǎn)F(0，p2)，準(zhǔn)線為l，連結(jié)MF，過點(diǎn)M作直線l的垂線，垂足為N，｜MF｜=r，｜MN｜=d.求證：r=p2+y0.

通過兩點(diǎn)間距離公式和橢圓、雙曲線、拋物線的焦半徑求法可以說明，解析幾何中的斜化直是常規(guī)教學(xué)下的自然過程，學(xué)生不難接受，從中也可以體會(huì)到，兩點(diǎn)間距離公式不再是一個(gè)含根號(hào)式子而已，還可以得出其他的公式；對(duì)于焦半徑，借助離心率把它們統(tǒng)一表示成與坐標(biāo)軸平行的線段形式，形成“曲線上任一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離，轉(zhuǎn)化為到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離”的思想，也就是“斜化直”思想，讓學(xué)生從記憶的泥潭中走出來，更有利于學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣.

運(yùn)用“斜化直”思想，焦半徑長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為M點(diǎn)到相應(yīng)定直線（準(zhǔn)線）的距離，而這個(gè)距離對(duì)應(yīng)線段MN又平行于坐標(biāo)軸，易于計(jì)算.更可貴的是，借用線段MN的長(zhǎng)度發(fā)現(xiàn)焦半徑的變化趨勢(shì)：由圓錐曲線頂點(diǎn)起向兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，焦半徑逐漸增大或者縮短，即可解決曲線上不同兩點(diǎn)間焦半徑的大小比較！

四、植入“斜化直”思想應(yīng)用思考

形與數(shù)的完美結(jié)合，使高中解析幾何在多數(shù)人看來很難，而通過建立“斜化直”思想，可以把高中解析幾何內(nèi)容用一條無形的線穿起來，如同在黑暗中總有一條路指引我們走下去.由于涉及與坐標(biāo)軸平行（或垂直）的直線（線段）問題，教學(xué)中“斜化直”思想的植入并不困難，遇到運(yùn)用到“斜化直”問題時(shí)，加以指出即可，學(xué)生也易于接受.

從教學(xué)效果來看，“斜化直”思想能讓人思維開闊、發(fā)散，也帶來了一個(gè)另類思考方式：遇到無從下手的問題，嘗試把一些“斜”問題轉(zhuǎn)化為“直”問題，尋找解決問題的著力點(diǎn)，理清凌亂的信息，打開被阻的思路，直到解決問題.

教學(xué)中要注意把握好，“斜化直”思想不能獨(dú)立于基礎(chǔ)知識(shí)之外，它同樣需要學(xué)生掌握基本知識(shí)，如圓錐曲線中的相關(guān)原理、圖形等，特別是離心率相關(guān)知識(shí)，也離不開良好的演算技能.

(責(zé)任編輯 金 鈴）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文