巧用等效 化繁為簡

20世紀最偉大的物理學家愛因斯坦在1905年建立狹義相對論后，正是由于洞察到引力場與加速場的等效性，提出著名的等效原理——為廣義相對論的建立奠定了基礎，并于1916年發表了“廣義相對論基礎”。英國著名的物理學家湯姆生贊譽到：“這是人類思想史中最偉大的成就之一”。

在中學物理中，合力與分力、合運動與分運動、平均速度、重心、交流電的平均值和有效值等，都是根據等效概念引入的，從而使所研究的情境總是由繁變簡，由難變易。本文就等效法在力學、電學、光學中的應用展開討論，以實例說明如何使用等效法使問題化繁為簡。

一、等效法在力學中的應用

合力與分力具有等效性，關于這一點在力的合成與分解中得到了充分的體現．除此之外，在另一類題目中，如果也能夠充分應用等效的觀點，將物體所受的多個恒力等效為一個力，就可以將較復雜的物理模型轉化為相對較為簡單的物理模型，然后再去應用我們熟知的規律去列方程，這樣將會大大降低解題的難度，更有利于對問題的正確解答。

【例1】 如圖1所示，勻強磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度B＝1T，勻強電場方向水平向右，電場強度

E＝103N/C。有一個帶電的油滴，質量為m＝2×

10-5C，在紙面內做勻速直線運動，求速度的大小和方向。（取g=10m/s2）

解析：將電場與重力場的疊加場等效為一個場，它對油滴的作用力為：

F=mgsinθ，

其中，θ為F與水平方向的夾角，其大小為θ=tan-1mgqE=tan-113=30°

。

根據油滴做勻速直線運動知:

Bqv=mgsinθ，

所以，油滴勻速運動的速率為：

v=mgBqsinθ=20m/s，

根據左手定則可得，α=90°-θ=60°。

討論：如果當油滴運動到圖示位置時，撤去磁場且

不考慮變化磁場產生的電場，那么，帶電粒子要經過多少時間才能回到同一水平線上？

解析：油滴在等效場中做類平拋運動，等效加速度為

g′=mg/sinθm=2g，

圖2

若設兩點的水平距離為s，如圖2所示，則：

x=scosα=vt，

y=ssinα=12g′t2，

所以運動時間為：

t=2vg′tanα=23ｓ。

【例2】 用絕緣細線將一個質量為m，帶電荷量為+q的小球懸掛在天花板下面，讓小球小幅度往復擺動。整個裝置放在水平的勻強磁場中，電場的方向平行于小球運動軌道所在的豎直平面，不計空氣阻力。如果在小球擺動的過程中突然把細線燒斷，此后小球可能做（）。

A．勻速直線運動 Ｂ．類平拋運動

C．勻加速直線運動Ｄ．勻減速直線運動

解析：若該裝置僅處于重力場，突然燒斷細線后，小球只受重力作用，所以不可能做勻速直線運動和勻減速直線運動；在最低點和最高點燒斷細線時，分別做勻加速直線運動和平拋運動。加上水平的電場后，將小球受到的電場力和重力的合力看做一個新的重力，就等效成一個重力場中的單擺，所以Ｂ、Ｃ正確。

說明：各種性質的場與實物的根本區別之一就是具有疊加性，即幾個場可以同時占據同一空間，從而形成一個復雜的疊加場。這時既可以通過力的獨立作用原理，先分別研究每一種場力對物體的作用，也可以通過等效法，將復雜的疊加場等效為一個簡單場，然后利用類比法轉化為重力場中的常見問題，以便利用熟悉的規律和方法極為簡捷地進行分析和解答。

二、等效法在電學中的應用

1.電路中的等效電源問題

等效電源在電阻獲得最大功率的問題中顯示出其獨特的優越性。

在電源電動勢為E，內阻為r，外電阻為Rx的閉合電路中，Rx獲得最大功率的條件及最大功率為：

當Rx=r時，

最大功率Pm=E24r。

如果外電路不止Rx一個電阻，而是由Rx與其他電阻串聯、并聯或者混聯而成，為了簡捷地確定Rx獲得最大功率的條件及其最大功率，可以將Rx之外的電路其他部分，視為一等效電源（E′，r′）。這樣，Rx獲得最大功率的條件及其最大功率，就可以相應的表示為：

當Rx=r′時，

最大功率Pm=E′24r′。

圖3

【例3】 在如圖3所示的電路中，虛線框內的各元件的數值未知，當它的輸出端a、b分別連接不同阻值的電阻時，電流表有不同的示數。

(1)請通過計算完成下列表格。

(2)a、b連接電阻R的阻值為多大時，電阻R的電功率最大?最大電功率為多少?

解析：正常思考此題時，會覺得由于R1、R2未知，而無法處理。但如果頭腦中有了等效思想，則問題就會迎刃而解。即將虛線框內的電路等效為一個電源，根據題中表格內給出的前兩組數據算出等效電源的電動勢和內電阻，然后再按正常的方法進行電路計算。

圖4

將虛線框部分等效為一個電源，設該電源的電動勢為E′，內電阻為r′，如圖4所示，根據閉合電路歐姆定律，有I=E′R+r′。

(1)由表格可知，當R=10Ω時，I=1Ａ；當R=18Ω時，I=0.6A，代入上式，聯立求解可得到：E′=12Ｖ，r′=2Ω。再根據表達式I=E′R+r′，當I=0.4A時，R=28Ω；當R=118Ω時，I=0.1Ａ，即表格中的空格應填：28、0.1。

(2)由PR=I2R=(E′R+r′)2R=E′2R+r′2R+2r′

，

可以看出當R=r′=2Ω時，電阻R消耗的電功率最大，最大電功率為Pm=E′24r′=18（W）。

另外，運用等效電源的知識去討論分析實驗電路的誤差，也是很方便的，如用“伏安法”測電源電動勢和內電阻的實驗中，通常有兩種測量電路供選擇，如圖6、圖7兩圖所示。圖6中由于電壓表的分流作用，圖7中由于電流表的分壓作用，使測量過程不可避免地出現系統誤差，為了了解測量值和真實值的關系，通常采用將測得的U-I圖像進行修正得出真實的U-I圖像，并將二者加以對比從而得出結論。但這種做法不僅麻煩而且不易被學生接受，若運用等效電源的知識來分析誤差，那將變得十分方便。

對圖6，把電壓表和電池看作一個等效電源，設電壓表的內阻為RV，則等效電源的電動勢和內電阻為：E′=RVr+RVE，r′=RVrr+RV，

由上面的分析可以看出，電動勢和內電阻的真實值E、r與測量值E′、r′的關系是：E＞E′，r＞r′，即測量值均小于真實值。

對圖7，把電流表和電池看作一個等效電源，設電流表的內阻為RA，則等效電源的電動勢和內電阻分別為：E′=E，r′=RA+r。

由此可知，取用圖7測量時，電源電動勢的測量值等于真實值，電源內電阻的測量值大于真實值。

通過以上例題的分析和求解可知，引入等效電源之后，可以起到化繁為簡，化難為易的作用。

2.電磁感應現象中的等效電路問題

圖8

【例4】 如圖8所示，正方形線圈abcd繞垂直于勻強磁場的過ad邊的固定軸OO′勻速轉動，磁感應強度為B，角速度為ω，已知正方形線圈每邊長為L，每邊電阻值為R，現將a、d兩點通過阻值為R的電阻用導線連接，求通過電阻R的電流。

解析:金屬線圈abcd繞OO′轉動時，產生的是交流電，

感應電動勢最大值為

下面要注意的是不能把整個金屬線圈abcd都看做是電源，這里切割磁感線的僅僅是bc邊，故這個電路的等效電路如圖9所示，

其中，電源電動勢為：

E=22BωL2，電源內阻r=R，

I=E3R+R2=2BωL27R，

通過電阻R的電流為：

I′=12I=2BωL214R

。

所以在電磁感應現象中，正確分析相當于電源的那部分導體，畫出等效電路，是解決問題的關鍵。

三、等效法在光學中的應用

【例5】 1801年，托馬斯#8226;楊用雙縫干涉實驗研究了光波的性質，1834年，洛埃利用平面鏡同樣得到了楊氏干涉的結果（稱洛埃鏡實驗）。

（1）洛埃鏡實驗的基本裝置如圖10所示，S為單色光源，M為平面鏡，試用平面鏡成像作圖法在答題卡上畫出S經平面鏡反射后的光與直接發出的光在光屏上相交的區域。

（2）設光源S到平面鏡的垂直距離和到光屏的垂直距離分別為a和L，光的波長為λ，在光屏上形成干涉條紋，寫出相鄰兩條亮紋（或暗紋）間距離Δx的表達式。

解析：（1）先作出S的平面鏡的像點S′，然后作出S經平面鏡成像的邊界光線，其重疊區域如圖11所示。

（2）根據條紋間距公式Δx=Lλd，由上圖知d=2a，所以Δx=Lλ2a。

說明：本題來源于課本，但高于課本，題目非常巧妙地利用平面鏡成像把點光源及其像等效成了相干光源，考查了學生創新實驗的能力，體現了等效法的靈活應用。

從近幾年的高考試題看，命題者的指導思想很明確，那就是力求所命題目的創意新、背景新、過程新。但若從題目所對應的物理模型上看，在本質上講是萬變不離其宗的。要提高解決綜合問題的能力，從根本上講還是要提高構建物理模型的能力，要學會透過現象看本質，對物理模型進行恰當的等效轉換，這樣才能將復雜問題簡單化。

參考文獻

［1］裴家量著.中學物理思維方法及應用［M］.廣州：廣東教育出版社，1998.

［2］龔霞玲主編，黃干生等本冊主著.高中物理實驗（修訂版）［M］.北京：龍門書局，2003.

［3］王淑芳主編.創新設計#8226;二輪專題復習#8226;物理［M］.延吉：延邊人民出版社，2010.



(責任編輯 黃春香）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文