操作是學(xué)生幾何知識(shí)內(nèi)化的扶手

　　在小學(xué)數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)中為學(xué)生提供更多的操作機(jī)會(huì)，固然是基于適應(yīng)兒童好奇愛動(dòng)的天性，但更重要的是由數(shù)學(xué)幾何知識(shí)本身的特性所決定的。實(shí)踐證明，在小學(xué)幾何教學(xué)中，吸引和指導(dǎo)學(xué)生介入操作過程，可以為幾何知識(shí)的內(nèi)化尋找到一條較佳的渠道。當(dāng)然，由從操作到內(nèi)化并不存在一條簡(jiǎn)單的線性因果關(guān)系。我認(rèn)為，為學(xué)生設(shè)置的操作活動(dòng)必須經(jīng)過以下幾個(gè)方面的優(yōu)化，才能有效地促進(jìn)幾何知識(shí)的內(nèi)化。
　　一、通過操作引起認(rèn)知矛盾，激活學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力
　　小學(xué)生通過操作來學(xué)習(xí)幾何知識(shí)，往往能激發(fā)他們極大的好奇心和興趣。但是兒童的好奇心和興趣帶有很大的自我中心成分，對(duì)它的利用應(yīng)當(dāng)是有限度的、有指向的。通過操作激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，關(guān)鍵在于引起學(xué)生新舊知識(shí)的矛盾沖突，產(chǎn)生認(rèn)知不協(xié)調(diào)。新知識(shí)的獲得在某種意義上講，是已有知識(shí)結(jié)構(gòu)的一種發(fā)展。當(dāng)已有的知識(shí)不適合新問題的解決時(shí)，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知矛盾或認(rèn)知不協(xié)調(diào)。這種矛盾是推動(dòng)認(rèn)識(shí)發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力，由它激起的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)最為持久，因而也最有助于知識(shí)的內(nèi)化。例如，教學(xué)“圓的周長”時(shí)，讓學(xué)生通過把鐵絲圍成的圓圈截?cái)嗬保蛴美K子甩動(dòng)旋轉(zhuǎn)成圈，或測(cè)量自行車輪沿地上直線行駛一圈的長度等模擬操作，逐步引發(fā)學(xué)生的認(rèn)識(shí)困惑，使他們感到用這些方法測(cè)量圓周長的不便和繁瑣，產(chǎn)生學(xué)習(xí)更簡(jiǎn)單的方法的求知欲。又如，教學(xué)“圓的面積”時(shí)，需要辯證地認(rèn)識(shí)曲線與直線的關(guān)系，視圓為方，化曲為直。它與學(xué)生的日常觀念是矛盾的，單靠教師講述或直觀演示，學(xué)生并不能體會(huì)和解決這種矛盾，可讓學(xué)生親自動(dòng)手操作，把圓逐漸細(xì)分，使各個(gè)小扇形的弧逐漸變“直”（如下圖）。
　　學(xué)生在連續(xù)的操作過程中，隨著圖形的變化產(chǎn)生巨大的驚奇和大膽的想象，如繼續(xù)細(xì)分“弧”越變?cè)街保ㄈ缦聢D）。
　　認(rèn)知的矛盾驅(qū)使學(xué)生渴望得到最終的正確解答，這就為知識(shí)的內(nèi)化奠定了動(dòng)力基礎(chǔ)。
　　需要指出的是，在操作基礎(chǔ)上形成的認(rèn)知矛盾不僅是為內(nèi)化提供非認(rèn)知條件（即機(jī)動(dòng)條件），而且在很多情況下還為內(nèi)化提供認(rèn)知條件。也就是說，認(rèn)知矛盾的轉(zhuǎn)化直接導(dǎo)致新知的內(nèi)化。在幾何教學(xué)中，大量新知識(shí)都是以操作為基礎(chǔ)，并由舊知轉(zhuǎn)化或遷移而來的。像圓面積的計(jì)算公式可以通過拼三角形、長方形、平行四邊形、梯形等操作活動(dòng)，借助已有的面積計(jì)算知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)。如下圖：
　　由此可知，通過操作引發(fā)認(rèn)知矛盾對(duì)于幾何知識(shí)的內(nèi)化具有雙重功效，它是那些只引起一般興趣、好奇的操作活動(dòng)所無法比擬的。
　　二、通過操作引導(dǎo)反身抽象，構(gòu)建活動(dòng)原理
　　“反身抽象”（也叫反省抽象或反思抽象）是對(duì)主體動(dòng)作自身的協(xié)調(diào)、重組、再建，是由一系列操作構(gòu)成的。研究和實(shí)踐都表明，反身抽象一般要經(jīng)歷實(shí)物操作、表象操作和符號(hào)操作這幾個(gè)階段或環(huán)節(jié)。實(shí)物（或?qū)嵨镄裕┎僮髦饕峭獠楷F(xiàn)實(shí)動(dòng)作的擺弄、觸摸、割補(bǔ)、拼接等。表象操作主要是具體形象的邏輯思考和語言的表達(dá)，它由低級(jí)到高級(jí)、由具體到概括、由外部到內(nèi)部逐步轉(zhuǎn)化。我們?cè)趲缀谓虒W(xué)中可以建立一種“動(dòng)手——?jiǎng)友邸獎(jiǎng)幽X（包括動(dòng)口）”有機(jī)連動(dòng)的操作教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生逐步完成幾何知識(shí)的內(nèi)化。
　　例如，教學(xué)“長方形面積的計(jì)算”時(shí)，可以先讓學(xué)生連續(xù)進(jìn)行實(shí)物性操作：用面積單位擺滿一個(gè)長方形。通過數(shù)出所擺面積單位的個(gè)數(shù)知道面積的平方數(shù)，或根據(jù)長方形已知的長和寬只擺一行與一列的面積單位，或根據(jù)每排所擺的個(gè)數(shù)和所擺的排數(shù)通過乘法計(jì)算求得面積的平方數(shù)，并說出每個(gè)長方形每排面積單位的個(gè)數(shù)及排數(shù)與長方形的長和寬之間有什么關(guān)系。接著讓學(xué)生擺脫實(shí)物性的擺弄，進(jìn)行表象操作，觀察幻燈顯示的幾個(gè)大小不同的長方形，根據(jù)圖形已知的長與寬，在感知與想象中完成操作：沿長擺幾個(gè)面積單位，沿寬擺幾排，一共擺多少個(gè)面積單位，面積是多少。如下圖：
　　最后，水到渠成地進(jìn)入符號(hào)操作階段，讓學(xué)生思考、討論“長方形的面積與什么有關(guān)”“面積的平方數(shù)與長和寬的長度有什么關(guān)系”“求長方形的面積需要知道哪些條件”等問題。學(xué)生在充分感知、觀察和想象的基礎(chǔ)上，通過分析比較、歸納總結(jié)出長方形面積計(jì)算公式，實(shí)現(xiàn)了由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍，知識(shí)的內(nèi)化也逐漸完成。
　　反身抽象源于實(shí)物或?qū)嵨镄圆僮鳎@種操作是內(nèi)化的基礎(chǔ)。沒有它，難以產(chǎn)生抽象思維形式，如概念的判斷、推理等。這種思維形式是不能從外部客體中獲得的。因此，在小學(xué)幾何教學(xué)中，應(yīng)盡可能多地組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)物或?qū)嵨镄圆僮鳎惠p易以教師的演示來取代學(xué)生的感知。但是，這種操作只是內(nèi)化的起點(diǎn)，它所體現(xiàn)的思維還是運(yùn)作性的。由此而產(chǎn)生的“概念”“判斷”乃至“推理”完全離不開特定的具體動(dòng)作，因而遠(yuǎn)不能揭示知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與法則。所以，應(yīng)在充分體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生擺脫實(shí)際動(dòng)作，進(jìn)入較高級(jí)的表象操作階段，或者在體驗(yàn)的同時(shí)就引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行表象操作。表象操作階段應(yīng)特別注意兩點(diǎn)：1.加強(qiáng)觀察的指導(dǎo)。學(xué)生的觀察是與教師的直觀演示相關(guān)的一種活動(dòng)，教師無論是進(jìn)行實(shí)物性操作演示，還是運(yùn)用幻燈片等手段進(jìn)行演示，都應(yīng)當(dāng)輔以語言的說明和指導(dǎo)，以規(guī)范調(diào)控學(xué)生的感知，使之與思維初步融合，培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和直覺思維能力。2.進(jìn)行必要的聯(lián)想和想象練習(xí)。小學(xué)幾何教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。它不僅離不開實(shí)物操作、觀察，同樣也離不開聯(lián)想和想象，而且聯(lián)想和想象由于擺脫了眼前實(shí)在的形象，對(duì)具有某種概括性的表象進(jìn)行操作，抽象程度已大大提高，因此更有利于學(xué)生幾何知識(shí)的內(nèi)化。如對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)、填缺、移位、轉(zhuǎn)化、作輔助線等等，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行想象，既獲得最佳的效果，又發(fā)展了空間想象力。
　　表象操作雖然具有一定的概括水平，但它仍然離不開具體形象的支撐，而內(nèi)化最終是在符號(hào)操作的層次上完成的。因此，教師要善于抓住契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)表象進(jìn)行加工、整理，通過分析綜合、分類比較、抽象概括、判斷推理等思維活動(dòng)，在符號(hào)操作的水平上理解、內(nèi)化新知。為了檢驗(yàn)學(xué)生思維的抽象化、符號(hào)化程度，通常還必須為學(xué)生提供具有無關(guān)特性干擾的例證（包括肯定例證和否定例證）讓他們判斷。例如，教學(xué)“平行線”時(shí)，可以通過操作、演示使學(xué)生從總體上了解兩條直線的幾種位置關(guān)系，并從中分離出“平行”這一種情況。在分類的背景中初步引入概念，為思維活動(dòng)的深入發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。而后，教師出示鐵軌、雙杠、練習(xí)本等圖形的兩條長邊和兩條寬邊，讓學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納推理，找出平行線的共同特征，從而揭示平行線的概念。與此同時(shí)，還可以讓學(xué)生深入地思考并用語言表達(dá)出垂線和平行線的不同，以強(qiáng)化概念的內(nèi)涵。在學(xué)生建立平行線的概念后，讓學(xué)生舉出生活中平行線的實(shí)例，并提供各種肯定例證的變式和否定例證讓學(xué)生辨別，并說明理由，進(jìn)一步完善平行線的概念，檢查學(xué)生在概念、符號(hào)水平上對(duì)知識(shí)的內(nèi)化情況。
　　三、通過操作引發(fā)主體意識(shí)，培養(yǎng)能動(dòng)品格
　　操作活動(dòng)本質(zhì)上是主體性的，因?yàn)樗氖﹦?dòng)者是學(xué)生本人。它誘發(fā)學(xué)生的興趣，尤其是激活了推動(dòng)學(xué)習(xí)活動(dòng)的最重要的主觀因素和認(rèn)知矛盾，特別有助于建立學(xué)生主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展其思維能力。所有這些，都決定組織操作活動(dòng)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的主體性具有最重要的意義和作用，而主體性又是實(shí)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)化的必不可少的條件。
　　當(dāng)然，學(xué)生的操作活動(dòng)畢竟處于教師的指導(dǎo)之下，它是否真正體現(xiàn)出學(xué)生的主體性，在很大意義上取決于教師的指導(dǎo)藝術(shù)。在教學(xué)過程中，教師可從以下幾方面培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的主體性：1.鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立操作，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)。這樣可以使學(xué)生獨(dú)立提出假設(shè)、操作驗(yàn)證、推導(dǎo)演算等，從中經(jīng)歷獲取知識(shí)的動(dòng)態(tài)過程，從而提高內(nèi)化的質(zhì)量。如教學(xué)“圓錐的體積”時(shí)，可以讓學(xué)生先進(jìn)行大膽地猜測(cè)，然后動(dòng)手操作和驗(yàn)證。2.鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，標(biāo)新立異。這不僅可以發(fā)展學(xué)生的主動(dòng)性，而且有助于發(fā)展其認(rèn)知的風(fēng)格和個(gè)性，推動(dòng)創(chuàng)造性思維的發(fā)展。例如，教學(xué)“三角形面積公式”時(shí)，有的學(xué)生用割補(bǔ)法把三角形拼成長方形，有的則用折紙法把三角形折成兩個(gè)重疊的長方形，從而殊途同歸地利用舊知推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式。這些獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的見解，都可以視為創(chuàng)造而加以熱情的鼓勵(lì)和肯定。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，加速學(xué)生幾何知識(shí)的構(gòu)建和內(nèi)化無疑具有莫大的益處。3.鼓勵(lì)學(xué)生交流思想，糾誤自正。學(xué)生的獨(dú)立操作與思考，難免會(huì)出現(xiàn)疏漏、片面、混沌不清乃至錯(cuò)誤。對(duì)此，教師應(yīng)從保護(hù)學(xué)生探索的積極性、發(fā)揮學(xué)生群體自我教育的立場(chǎng)出發(fā)，因勢(shì)利導(dǎo)地組織學(xué)生展開討論與爭(zhēng)辯，切忌輕率否定。例如，教學(xué)“環(huán)形面積的計(jì)算”時(shí)，有學(xué)生提出把環(huán)形從中間拉開，可以拉成梯形，再利用梯形的面積公式來計(jì)算環(huán)形面積。這一想法并不恰當(dāng)，但其中也有合理成分。教師就此組織學(xué)生討論，有的學(xué)生認(rèn)為環(huán)形拉不成梯形；有的學(xué)生認(rèn)為可以想象成梯形，因?yàn)榄h(huán)形的內(nèi)外圓都可以拉直，面積沒變。教師充分肯定這一想象的合理性，但同時(shí)也指出這種想象在實(shí)際操作中的困難，并不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生用割補(bǔ)法進(jìn)行探究，使學(xué)生在互相啟發(fā)、討論中找到解決問題的方法。
　　當(dāng)然，鼓勵(lì)不等于放任；相反，它深刻地體現(xiàn)了教師主導(dǎo)作用的發(fā)揮。它要求教師在鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立主動(dòng)的操作過程中，于學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)的關(guān)鍵處（即前面所說的認(rèn)知矛盾、認(rèn)知困惑處等）進(jìn)行點(diǎn)撥、啟發(fā)、指導(dǎo)。事實(shí)證明，這種點(diǎn)撥、啟發(fā)和指導(dǎo)最有助于引發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的意向，從而加快知識(shí)內(nèi)化的進(jìn)程。例如，教學(xué)“三角形內(nèi)角和”時(shí)，可首先利用學(xué)生錯(cuò)誤的日常直覺印象設(shè)疑，讓學(xué)生比較三個(gè)面積、周長差異較顯著的三角形，說出哪個(gè)三角形內(nèi)角和最大、最小。在學(xué)生眾說紛紜、相持不下的情況下，教師適時(shí)引導(dǎo)，組織學(xué)生開展量、折、剪、拼等操作活動(dòng)，使學(xué)生恍然大悟，在驗(yàn)證的愉悅中了解了三角形內(nèi)角和的大小與邊的長短、面積的大小無關(guān)，進(jìn)而掌握知識(shí)的內(nèi)涵。
　　（責(zé)編杜華）