讓“錯誤”成為課堂教學的有效添加劑

　　《數學課程標準》指出：“在數學教學活動中，‘錯誤’往往是教師在教學中和學生在學習過程中，反映在各方面，出現違反教學結論或數學方法的現象。”課堂是學生出錯的地方，出錯是學生的權利。心理學家蓋耶認為：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富成效的學習時刻。”教學中我們要善待學生出現的“錯誤”，抓住這種數學教育契機，讓“錯誤”變成寶貴的教學資源。
　　一、利用“錯誤”激發學生的學習興趣
　　課堂是動態生成的，再高明的教師也無法預料課堂中會發生什么，只能是更充分的預設。課堂上有些錯誤是教師通過鉆研教材，憑借教學經驗，可以預測學生學習某知識時可能發生哪些錯誤。它來自于學生，存在于學生的學習活動中，教學時可以有效利用這些“錯誤”資源。只要合理利用，能較好地促進學生情感的發展，對激發學生的探究興趣、喚起學生的求知欲具有特殊的作用。
　　例如，工程應用題：“一段公路長30千米，甲隊單獨修10天完成，乙隊單獨修15天完成，兩隊合修幾天完成？”出示例題后，我先讓學生根據一般應用題的解題思路列出算式 30÷（30÷10+30÷15）=6（天），并說明算理。然后我引導學生：“如果這段公路長60千米，那么兩隊合修幾天能完成呢？”“12天。”學生不假思索地回答起來。“是嗎？請同學們算了再回答行嗎？”“這還用算？”學生們嘴上這么說，但還是認真地算了起來，計算結果出乎他們的意料：“6天。路程擴大一倍，時間竟然不變！”“如果路程分別是15千米、45千米、120千米，時間又分別是多少呢？”此時學生不再顯得胸有成竹而是滿臉疑惑，片刻，答案又出來了：“都是6天！”“為什么公路的長度不管變成多少千米，時間總是不變呢？”“是不是工程應用題中的工作總量和工作時間無關呢？”“能不能不用知道具體的工作總量也能求出工作時間呢？”……“錯誤”引發了學生們對以上問題主動的、積極的思考，極大地調動了思維熱情，學生們在“欲罷不能”的探究氛圍中開始了對新課的學習。
　　二、利用“錯誤”激活學生的數學思維
　　學生會在新授課上把數學學習簡單化，這種簡單化的學習一旦進入綜合練習，學習障礙就凸現出來，成為影響學生思維發展的主要原因。所以，教師在教學活動中，要通過主動的引導，充分暴露學生的思維過程，特別是要暴露錯誤的思維過程。
　　例如，在學習相遇問題時出示：“ A、B兩地相距260米，兩輛汽車同時從A、B兩地相向開出，一輛汽車每小時行60千米，另一輛汽車每小時行70千米，幾小時后兩車相遇？”
　　生1：260÷（70＋60）。
　　生2：260÷70＋260÷60。
　　師：這兩種解法哪種正確呢？
　　生：都正確。
　　師：請同學們把這兩種解法的答案算出來。（學生通過計算發現得數不一樣）
　　師：得數怎么會不一樣，請找找原因。是不是計算錯了？
　　生：沒錯。
　　師:問題出在哪兒？自己找找原因，然后小組內交流意見。（持兩種不同觀點的學生展開了爭論）
　　生3：260÷70＋260÷60是錯的。
　　生4：它是利用了分配律，由260÷（70＋60）得來的。
　　生5：除法沒有分配律的。
　　師：260÷70＋260÷60的每一步算式的意義是什么？
　　生6：260÷70、260÷60分別表示每輛車行完全程所用的時間，相加后是兩輛車行完全程共用的時間和，也就是它們相遇的時間。
　　生7：相遇時間是求兩輛車相對而行共同行完全程所需要的時間，相遇時間應比每輛車行完全程的時間還要少，260÷70＋260÷60表示兩輛車分別行完全程的時間總和，而不是它們的相遇時間。
　　……
　　這里，教師并沒有立即評價，而是順勢誘導讓學生得出答案不一致的矛盾，將學生潛在的錯誤及時呈現，然后又讓學生通過爭論自己去探索產生錯誤的原因。這樣既可以幫助學生從對錯誤的反思中更為深刻地理解所學知識，給學生留下非常深刻的印象，又能幫助學生糾正錯誤，促進學生思維能力的發展，提高學生自主學習和解決問題的能力。
　　三、利用“錯誤”促進學生的創新能力
　　數學學習是一個再創造的過程，對待錯誤教師應留給學生充分“講理”的機會，順應學生的思維，挖掘錯誤背后的創新因素，細心呵護學生創新的萌芽，適時、適度地給予點撥和鼓勵，使其茁壯成長，為課堂教學增添生命的活力。
　　如：“ 3名工人2小時加工120個零件，某車間12名工人8小時加工多少個零件？”大多數學生都根據歸一應用題的解題思路列式解答，算式為120÷3÷2×12×8＝1920（個），有一位學生卻列式為120÷3×8×（12÷3）＝1280（個）。我發現該學生的解法有創意，于是板書于黑板上，其他學生異口同聲說“不對”。我笑了笑，請該學生大膽地說出自己的想法。他說：“這個車間的人數是條件中人數的（12÷3）倍，前兩步表示3名工人8小時加工的零件。”說到這里，該學生說：“‘120÷3’不正確，應改為120÷2×8×（12÷3）。”我表揚了這個學生善于思考，敢于創新。在該學生的啟發和影響下，其他學生也不再局限于常規思路，分別從不同的角度進行了重新思考，列出了120÷3×12×（8÷2）、120×（12÷3）×（8÷2）等算式，課堂氣氛一下子活躍起來。
　　這里利用將錯就錯的方法，既不會使學生由于思維偏差而產生自卑感，又可以使學生從簡便方法中看到自己思維的價值，增強了學習的信心。更為重要的是，讓全體學生感悟“出錯”是很正常的，并不可怕，更不可恥，將學生從對錯誤的恐懼中解放出來，化消極情感為積極情感，使學生“敢”出錯，從而達到激發學生創新熱情的目的。
　　四、利用“錯誤”提高學生的辨析能力
　　英國心理學家貝恩布里奇說過：“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的。”我們的課堂教學是一個動態的過程，是師生、生生之間交流互動的過程。在這個過程中，每天都有學生在出錯，如果教師對學生的錯誤視而不見，或因時間關系故意回避，那才是教師最大的錯誤。因此，教師要好好利用課堂上出現的各類錯誤，化弊為利，或將錯就錯，既拓寬學生的思維空間，又訓練了學生思維的靈活性和創造性。
　　如應用題：“五年級同學參加數學小組的有20人，比參加美術小組人數的2倍少4人。參加美術小組的有多少人？”學生有用方程解的，也有用算術方法解的，答案五花八門。我把學生的所有做法都展示出來：（1）2x－4=20；（2）20－2x=4 ；（3）2x＋4=20 ；（4）2x－20=4；（5）（20－4）÷2；（6）（20＋4）÷2。 然后我組織學生討論：“這么多種解法，哪種是對的，哪種是錯誤的？”學生有的用畫線段圖來分析，有的寫出數量關系式，有的從每一步求出來的表示什么來驗證……通過分析、驗證，大家一致認為答案（1）、（4）、（6）是正確的，并且通過比較學生還發現：方程（1）和（4）可以根據加減法各部分間的關系相互轉化而得，而解這兩個方程的過程與算術解法的思路是一致的，從而溝通了方程解和算術方法解之間的關系。至此，我并沒有滿足，繼續追問：“答案（2）、（3）、（5）為什么不對？如果是這樣列式解答，題目應怎樣改？你能改變原題中的條件，改編出應用題嗎？”學生的思維打開了，針對其他算式改編出應用題。
　　這樣的“將錯就錯”，舉一反三，既豐富了知識，又拓展了思路，學生的求異思維能力得到了提高。在數學教學過程中，教師如果從學生出現的錯誤做法出發，進行引導點撥，不僅能引出正確的想法，還可以“將錯就錯”，利用學生的錯誤資源，激活課堂教學。由此，學生獲得的不僅僅是解答這道題的方法，而是這類題的知識，從而開闊了學生的解題思路，提高學生的思辨能力。
　　五、利用“錯誤”培養學生的自我評價能力
　　為了充分發揮錯誤的積極作用，教師要及時對學生在學習中出現的典型錯誤、錯誤產生的原因及矯正對策進行搜集、整理、記錄，可以通過多種形式進行對比練習，使學生的自我評價能力得到提高。而教師更應該做的工作是指導學生記錄個人學習錯誤的方法，養成寫錯誤日記的習慣。我在教學中通過部分學生的嘗試有了切身的體會。如一位學生在作業中出現了“2.85千克=285克”這一錯誤后，他的錯誤日記是這樣記錄的：“今天，我把2.85千克算成了285克，老師說我進率搞錯了。其實我知道千克與克之間的進率是1000，我只不過習慣性地看到2.85有兩位小數，就把它寫成了285。其實，我只要把1000寫出來，就會將小數點移動三位了，下回做作業一定要多列算式。”還有一位學生在做判斷“68%米”是否正確時，打了“√”而錯誤，她的錯誤日記是這樣寫的：“我以為68%和0.68相等，68%米和0.68米是一樣的，所以對的。其實，百分數只能用來表示一個數是另一個數的百分之幾，不能表示一個具體量。我沒有理解百分數的含義……”
　　通過這樣的日記，學生在糾錯的同時也對自己的錯誤有了一個更為深刻的反思過程，既總結了自己在學習方法、學習態度等方面的問題，又正確地評價了自己。通過這種形式，學生對自己的錯誤認識更加透徹，有效實現了防錯的目的，提高了學生獨立學習的能力。
　　綜上所述，教學中不是缺乏教育資源，而是缺乏善于發現的眼睛。錯誤是正確的先導，成功的開始。沒有錯誤就沒有正確，二者是對立統一的，而數學錯誤隨著數學學習的開始產生。對于錯誤，我們要站在數學價值的角度上重新審視，發掘內在的閃光點，引導學生從正、反不同的角度修正錯誤，訓練學生思維的靈活性和創造性，利用學生學習中出現的錯誤給學生創造良好的思維空間，引導學生多角度、全方位審視條件、問題、結論之間的內在聯系，深化知識。只要我們能夠發現和有效利用生成性錯誤這一資源，那么，錯誤就能成為發展學生學習能力的一劑良藥。
　　（責編杜華）