巧解外接球問題

　　摘要：外接球有關計算問題在近年高考試題中屢見不鮮，本文就長方體、正方體及棱錐的外接球有關問題，給出了特殊解法。
　　關鍵詞：巧解；外接球；問題
　　
　　《普通高中數學課程標準》中對立體幾何初步的學習提出了基本要求：“在立體幾何初步部分，學生將先從對空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形；再以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系……”由此可見，長方體模型是學習立體幾何的基礎，掌握長方體模型，對于學生理解立體幾何的有關問題起著非常重要的作用。有關外接球的立體幾何問題是近年各省高考試題的難點之一，這與學生的空間想象能力以及化歸能力有關，本文通過近年來部分高考試題中外接球的問題談幾種解法。
　　一、直接法
　　例1（2010年江西卷高考題）長方體ABCD-A1B1C1D1 的頂點均在同一個球面上，AB=AA1=11 ，BC=，則 A、B 兩點間的球面距離為。
　　解析： 本題考查球面距離，但關鍵是求出球的半徑，因為長方體內接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑。可先利用長方體三邊長求出球半徑，在三角形中求出球心角，再利用球面距離公式得出答案。
　　二、構造法
　　例2（2008年福建高考題）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是 。
　　解析：此題用一般解法，需要做出棱錐的高，然后再設出球心，利用直角三角形計算球的半徑。而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側棱兩兩垂直，使我們很快聯想到長方體的一個角，馬上構造長方體，且側棱長均相等，所以可構造正方體模型，如圖1，則AC=BC=CD= ，那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對角線，故所求表面積是9?仔。
　　例3（2010年遼寧卷高考題）已知S、A、B、C是球O 表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，則球O 的表面積等于。
　　A.4?仔B.3?仔C.2?仔D.?仔
　　解析：選A。本題用一般方法時，需要找出球心，求出球的半徑。若利用長方體模型，能很快找到球的直徑。構造下面的長方體（如圖2），于是SC為球的直徑，O為球心，球O 的直徑為2R=SC=2，所以表面積為4?仔R2 =4?仔。
　　參考文獻：
　　[1]葉堯城.高中數學課程標準教師讀本[M].
　　 武漢:華中師范大學