運用建模解決生活中的數(shù)學初探

　　“生活中處處皆數(shù)學。”《數(shù)學課程標準（實驗稿）》“強調從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數(shù)學的理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。”本人在本文中將結合自身的教學實踐談談如何運用轉化思想，構造數(shù)學模型，解決生活中的數(shù)學。
　　一、運用轉化思想，構造方程（組）數(shù)學模型
　　現(xiàn)在，數(shù)學命題越來越貼近實際生活，關注社會熱點，要求學生能把實際問題轉化為數(shù)學問題，能對實際問題作出正確的判斷、并能用數(shù)學知識進行決策、設計運行方案等，進而考查學生分析問題、解決問題的能力，體會方程（組）是一個刻畫現(xiàn)實世界的有效的數(shù)學模型。
　　例1.2012年奧運會倫敦組委會預計足球決賽門票價格是：一等席300歐元，二等席200歐元，三等席125歐元。某服裝公司在促銷活動中，擬組織獲得特等獎、一等獎共36名顧客到倫敦觀看比賽，除去其他費用后，計劃買2種門票，用完5025歐元。你能設計出幾種購票方案，供該服裝公司選擇？并說明理由。
　　解析：依據(jù)題意共有3種門票但只選購2種，所以應分三種情況分類討論，并轉化為“列出方程組，求出整數(shù)解”的數(shù)學模型，從而設計出購票的方式。
　　第一種情況：設購一等席票為x張，二等席票為y張，可列出方程組：
　　x+y=36300x+200y=5025因方程組無整數(shù)解，所以此方案行不通。
　　第二種情況：設購一等席票為x張，三等席票為y張，得x+y=36300x+125y=5025整數(shù)解為x=3y=33得第一種購票方案。
　　第三種情況：設購二等席票為x張，三等席票為y張，得x+y=36200x+125y=5025整數(shù)解為x=7y=29得第二種購票方案。
　　二、運用轉化思想，構造不等式數(shù)學模型
　　平時教學中經(jīng)常出現(xiàn)數(shù)學題中滲透其他學科知識，例如物理、化學、生物等學科的知識。這樣既可體現(xiàn)數(shù)學的工具學科特點，又能考查學生綜合運用各學科知識的能力。
　　例2.設“○”“△”“□”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如下圖所示，那么“○”“△”“□”這三種物體按質量從大到小的排列應為（）
　　A.□、○、△B.□、△、○
　　C.△、○、□D.△、□、○
　　解析：本題突破了常規(guī)考法，設計新穎，要求學生們能結合物理學科中天平的知識，從實際天平的演示轉化為不等式、等式問題，構造出數(shù)學模型，進而解決質量大小關系問題。
　　設：○、△、□質量分別為x、y、z，則由圖可知：z+z＞z+y，故z＞y，又x+x+x＝x+y，故y＝2x，所以z＞y＞x，故選（B）。
　　三、運用轉化思想，構造函數(shù)數(shù)學模型
　　有的數(shù)學命題改變了問題的呈現(xiàn)方式，讓學生不能按常規(guī)思路去處理，給學生審清題意帶來一定難度。這就要求學生必須轉換角度，調整思路，靈活處理變化的新問題。
　　例3.心理學家發(fā)現(xiàn)，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（單位：分）之間滿足函數(shù)關系：y＝－0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）。其中y值越大，表示接受能力越強。
　　（1）x在什么范圍內，學生的接受能力逐步增強？x在什么范圍內，學生的接受能力逐步降低？
　　（2）第10分鐘時，學生的接受能力是多少？
　　（3）第幾分鐘時，學生的接受能力最強？
　　（1）當0≤x≤13時，函數(shù)值y隨著x增大而增大，這表示學生的接受能力逐步增強。當13≤x≤30時，函數(shù)值y隨著x增大而減小，這表示學生的接受能力逐步減弱。
　　（2）令x＝10，求出函數(shù)值y＝59，表示第10分鐘時，學生的接受能力是59。
　　（3）當x＝13時，函數(shù)y有最大值，表示第13分鐘時，學生的接受能力最強。
　　我們可以從以上的數(shù)學題型中看出，教師在平時教學中應加強對學生“雙基”的掌握，落實和滲透對學生建立數(shù)學模型的思想和技能，從而奠定學生對解決生活中數(shù)學題型的信心。具體教學建議：（1）通過實際情境使學生體驗、領悟、理解所學內容，注重讓學生在實際背景中理解基本的數(shù)量關系和變化規(guī)律，注重使學生經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學模型、估計、求解、驗證正確性與合理性的過程，加強方程、不等式與函數(shù)等內容的聯(lián)系；（2）增強應用意識，滲透數(shù)學建模思想，結合具體的教學內容采用“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的過程來進行，在教師的指導下，讓學生投入解決問題的實踐活動，自己去研究、探索、經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程，初步領會數(shù)學建模的思想和方法，提高數(shù)學的應用意識和應用數(shù)學知識解決實際問題的能力；（3）通過課題學習或數(shù)學活動，注意利用學生周圍熟悉的事物，挖掘其中的數(shù)學內涵，啟發(fā)學生用數(shù)學的眼光審視自己平時“熟視無睹”的事物，發(fā)現(xiàn)當前的數(shù)學知識與自己生活的聯(lián)系，感受數(shù)學在解決問題中的獨特魅力，感受數(shù)學的文化內涵和文化價值。
　　（作者單位 江蘇省姜堰市第二中學附設初級中學）