圓錐曲線的解題技巧

　　摘 要： 作者從知識準備、常見問題出發，論述了圓錐曲線的利用幾何圖形、曲線方程、韋達定理等解題策略。
　　關鍵詞： 圓錐曲線 題型 解題策略
　　
　　一、知識準備
　　基本概念；基本公式；求直線方程的方法；在解決直線與圓的位置關系問題中，運用圓的幾何性質；了解線性規劃的意義及簡單應用；熟悉圓錐曲線中基本量的計算；掌握與圓錐曲線有關的軌跡方程的求解方法；掌握直線與圓錐曲線的位置關系的常見判定方法；能應用直線與圓錐曲線的位置關系解決一些常見問題。
　　二、題型羅列
　　1.中點弦問題
　　具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法（點差法）：設曲線上兩點為（x，y），（x，y），代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式，消去四個參數。
　　例：給定雙曲線x-=1，過A（2，1）的直線與雙曲線交于兩點P和P，求線段PP的中點P的軌跡方程。
　　2.焦點三角形問題
　　橢圓或雙曲線上一點P，與兩個焦點F、F構成的三角形問題，常用正、余弦定理。
　　例：設P（x，y）為橢圓+=1上任一點，F（-c，0），F（c，0）為焦點，∠PFF=α，∠PFF=β。
　?。?）求證：離心率e=；
　?。?）求|PF|+|PF|的最值。
　　3.直線與圓錐曲線位置關系問題
　　直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判別式，應特別注意數形結合的辦法。
　　例：拋物線方程y=p（x+1）（p＞0），直線x+y=t與x軸的交點在拋物線準線的右邊。
　　（1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點。
　?。?）設直線與拋物線的交點為A、B，且OA⊥OB，求p關于t的函數f（t）的表達式。
　　4.圓錐曲線的有關最值問題
　　圓錐曲線中的有關最值問題，常用代數法和幾何法解決。若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖像性質來解決。若命題的條件和結論體現明確的函數關系式，則可建立目標函數（通常利用二次函數，三角函數，均值不等式）求最值。下題中的（1），可先設法得到關于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個變量的函數，利用求函數的值域求出a的范圍。對于（2），首先要把△NAB的面積表示為一個變量的函數，然后再求它的最大值，即“最值問題，函數思想”。
　　例：已知拋物線y=2px（p＞0），過M（a，0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p，（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值。
　　5.求曲線的方程問題
　?。?）曲線的形狀已知，這類問題一般可用待定系數法解決。
　　例：已知直線L過原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點A（-1，0）和點B（0，8）關于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程。
　?。?）曲線的形狀未知，求軌跡方程。
　　例：已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x+y=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數λ（λ＞0），求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。
　　6.存在兩點關于直線對稱問題
　　在曲線上兩點關于某直線對稱問題，可按如下方法解題：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內。當然也可利用韋達定理并結合判別式來解決。
　　例：已知橢圓C的方程+=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線y=4x+m，橢圓C上有不同兩點關于直線對稱。
　　7.兩線段垂直問題
　　圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用k?k==-1來處理或用向量的坐標運算來處理。
　　例:已知直線l的斜率為k，且過點P（-2，0），拋物線C:y=4（x+1），直線l與拋物線C有兩個不同的交點。（1）求k的取值范圍；（2）直線l的傾斜角θ為何值時，A、B與拋物線C的焦點連線互相垂直。
　　三、解題策略
　　事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明。
　　1.充分利用幾何圖形的策略
　　解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數方程外，充分挖掘幾何條件，并結合平面幾何知識，往往能減少計算量。
　　例：設直線3x+4y+m=0與圓x+y+x-2y=0相交于P、Q兩點，O為坐標原點，若OP⊥OQ，求m的值。
　　2.充分利用韋達定理的策略
　　我們經常設出弦的端點坐標但不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。
　　例：已知中心在原點O，焦點在y軸上的橢圓與直線y=x+1相交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，|PQ|=，求此橢圓方程。
　　3.充分利用曲線方程的策略
　　例：求經過兩已知圓C:x+y-4x+2y=0和C:x+y-2y-4=0的交點，且圓心在直線l：2x+4y-1=0上的圓的方程。
　　4.充分利用橢圓的參數方程的策略
　　橢圓的參數方程涉及正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關的求最值的問題。這也就是我們常說的三角代換法。
　　例：P為橢圓+=1上一動點，A為長軸的右端點，B為短軸的上端點，求四邊形OAPB面積的最大值及此時點P的坐標。
　　5.線段長的幾種簡便計算策略
　?。?）充分利用現成結果，減少運算過程。
　　求直線與圓錐曲線相交的弦AB長：把直線方程y=kx+b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax+bx+c=0的方程，方程的兩根設為x，x，判別式為△，則|AB|=?|x-x|=?，若直接用結論，能減少配方、開方等運算過程。
　　例：求直線x-y+1=0被橢圓x+4y=16所截得的線段AB的長。
　?。?）結合圖形的特殊位置關系，減少運算。
　　在求過圓錐曲線焦點的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點，結合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復雜運算。
　　例：F、F是橢圓+=1的兩個焦點，AB是經過F的弦，若|AB|=8，求|FA|+|FB|的值。
　?。?）利用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉化為到準線的距離。
　　例：點A（3，2）為定點，點F是拋物線y=4x的焦點，點P在拋物線y=4x上移動，若|PA|+|PF|取得最小值，求點P的坐標。