玻爾茲曼統計力學的結構及其所包含的物理思想和方法

姜小蘭

（新鄉廣播電視大學，河南 新鄉 453000）

玻爾茲曼統計力學的結構及其所包含的物理思想和方法

姜小蘭

（新鄉廣播電視大學，河南 新鄉 453000）

本文以玻爾茲曼統計力學為例，探討了如何構筑一個物理理念的結構，如何發掘一個物理理論的物理思想和方法等問題。在教材教法研究中，本文不僅是對玻爾茲曼統計力學的一個初步探討，還可以作為學習和研究玻爾茲曼統計力學的參考資料。

結構；微觀態；宏觀態；平衡態；統計平衡態

眾所周知，學習一個理論，如果不去把握它的整體，而停留于單個地掌握它的概念、定律等，其結果必定是事倍功半。實際上，人類早已認識到，掌握一個理論，應著力于掌握它的結構，因為從一個理論結構中，最便于提取知識、信息和方法。瑞士心理學家皮亞杰，更對結構理論作了深入的研究。他在《結構主義》一書中指出：“在人類科學的發展中，結構主義已經革新了，并將繼續啟發人類科學的理論形態?！薄艾F代物理學對結構觀點作出了愈來愈高的評價?！?/p>

所謂結構，簡單地說，即是指若干成分以一定的關系組成的體系（或說整體）。一個物理理論，從問題的提出，理論體系的建立到運用和發展，包括了實驗事實、假設、定律、思維過程和方法等若干成分，這些成分以一定的方式組成的和諧整體，便是這個物理理論的結構。一個物理理論的結構，不完全等同于該理論在形成和發展的歷史過程中，某個科學家的實際思考過程，而是該理論各個成分更為和諧完美的組合，使之有更明顯的邏輯線索，更便于提取物理知識、物理思想和方法。一個物理理論，由于成分的選擇和組合的方式不同，構筑成的結構也是不相同的。這正好比差不多相同的建筑材料，既可能組合成華麗適用的大廈，也能組合成毫無用途的陋室。人們常說，“組合就是創造”，“所謂創造力，從某種意義上講，就是調動知識單元重新組合的能力”。所以，恰當地選擇一個理論的成分，并巧妙地組合成一個和諧、優美的理論結構，就是一個大的創造。

如何構成一個和諧優美的理論結構？如何更深刻地發展和發掘物理思想和方法，這些都尚屬教材教法研究領域中有待于進一步探討的問題。本文僅以玻爾茲曼力學為例，對這方面的問題作初步的探索。

本文擬將玻爾茲曼統計力學的主要成分劃分為幾個步驟，由這些步驟構筑成為一個層次明顯的理論結構。在每一個步驟下，將簡潔地敘述和分析該步驟所蘊藏的物理思想。

所謂物理思想，按人們通常理解的含義，是指獲得物理概念、假設、定律等的思考過程。本文所敘述和分析的物理思想，有些是玻爾茲曼本人的思考過程，有些則是后人在分析理論體系的過程中補充的。把所有這些思考過程融合在一起分析，其目的是讓理論結構澆鑄在完整的思考體系中，并能充分地揭示理論結構和其包含的物理方法。

所謂物理方法，通常是指獲得物理概念、假設、定律等的思維方法和操作方法。因為本文在每一步驟下所敘述和分析的物理思想，大部分屬于物理方法方面的內容，物理方法已經較為明顯地體現在物理思想的敘述和分析中，故以下論述沒有專門列出標題歸納物理方法。

組成玻爾茲曼統計力學結構的幾個步驟及其所包含的物理思想和方法

第一步 選擇孤立系作為研究對象

建立物理理論的第一步，總是選擇確定某種物理模型作為自己的研究對象。力學、電磁學、量子力學等，都無一不是首先選擇和確定以什么的物理模型作為自己的研究對象。

玻爾茲曼試圖建立熱力學微觀理論時，選擇了孤立系作為自己的研究對象。由定義可知，孤立系是與外界既無質量交換也無能量交換的系統。絕對的孤立系是不可能實現的，只是一個理想的物理模型。實際上，如果一個系統與外界進行的質量和能量交換，與它自身的質量和能量大小比較非常小，以致可以忽略不計時，便可以作為孤立系來處理，所以，一切處于熱力學平衡態的系統都可以視為孤立系。玻爾茲曼之所以選擇孤立系作為研究對象，是希望使理論的建立過程簡化一些。但是，建立在孤立系基礎上的統計力學理論不能研究漲落現象。

無數經驗表明，在理解和運用理論方面出現的錯誤中，相當大一部分是忘了理論的研究對象。所以，在學習和運用理論的全過程中，必須自始至終明確研究對象。

第二步 選擇描述系統狀態的方法，提出函數關系式W=W（N、V、E）

縱觀物理學各科的內容，也可以說，物理學就是研究物質系統的的狀態變化規律的科學。所以確定研究對象后，建立物理理論的第二步，便應是選擇系統狀態的描述方法，這往往是既困難又關鍵的一步，這一事實，理工科表現得尤為鮮明。

玻爾茲曼怎么選擇狀態的描述方法呢？鑒于統計力學的目的是，從宏觀物質系統的微觀結構以及微觀世界的動力學原理出發，并與概率論結合，進行邏輯推理，導出平衡系統的宏觀性質和規律，所以統計力學確定狀態描述方法時，必須分別確立宏觀狀態和微觀狀態的描述方法。分析統計力學的上述目的，玻爾茲曼自然會想到，借用熱力學描述狀態的方法描述宏觀狀態；借用經典力學描述狀態的方法描述微觀狀態。當然，要具體實現對宏觀狀態和微觀狀態的描述，還有不少“細節”有待解決。

首先考察，如何具體地描述一個孤立系的宏觀狀態。對于一個不考慮其電磁性質的孤立系 （本文僅限于研究這種系統），與外界不交換能量，意味著體積V和能量E保持恒定；與外界不交換質量，則意味著粒子數N保持恒定，也可以反過來說，三個參量（N、V、E）都保持恒定的系統，必定是一個孤立系；（N、V、E）三個參量完全確定了一個孤立系。但是，還不能說（N、V、E）三個參量具體地描述了一個孤立系的宏觀狀態，因為參量（N、V、E）一定的孤立系，一般說，包括了從非平衡態、準平衡態到平衡態的一系列宏觀狀態。只有當孤立系已經處于熱力學平衡態后，參量（N、V、E）才能完全描述了它的宏觀狀態。在統計力學中，當我們選用（N、V、E）三個參量中描述一個孤立系的宏觀狀態時，正是針對處于熱力學平衡態的孤立系而言的。

如何具體實現對微觀狀態的描述呢？如果借用經典力學的方法，N個粒子的微觀狀態，可以用N個粒子的全部廣義坐標和全部廣義動量描述。在統計力學中，這種描述方法被形象地轉換為相空間描述方法。統計力學中所用的相空間，通常分為μ空間和?？臻g兩種。

μ空間是描述單個粒子力學狀態的全部廣義坐標和廣義動量構成的多維空間。μ空間的一點對應了一個粒子的力學狀態，N個點便對應了N個相同粒子的力學狀態。所以，N個同種粒子組成的系統的微觀狀態，可以形象地用空間中的N個相點描述（相空間中的點稱為相點）。但是，μ空間僅適于研究由同種粒子組成的理想氣體系統，為了便于研究一般的系統，玻爾茲曼又引入了Γ空間。

?？臻g是由描述整個系統（N個粒子）的力學狀態的全部廣義坐標的廣義動量構成的多維空間。Γ空間中的一點對應了N個粒子的力學狀態，即對應了N粒子系統的一個微觀狀態，于是，任意系統的微觀狀態可形象地通過它的?？臻g的一個相點描述。

以上選用了（N、V、E）三個參量確定一個孤立系統，并描述它的熱力學平衡態；選用了相空間中的相點描述系統的微觀狀態。至此，我們還不能夠說狀態描述的問題已經最后解決。因為選用這些方法描述狀態還帶有試探性，我們還不知道這些方法是否有利于理論體系的建立，是否能經受實踐的檢驗。事實上，玻爾茲曼也是在改造了以上兩種狀態的描述方法后，才建立起玻爾茲曼統計力學的。他改造這兩種狀態的描述方法的方案，是通過以下創造性的分析提出來的。

統計力學的目的，也可以說是通過系統的微觀性質獲得其宏觀性質和規律。為達此目的，首先得尋求一個連結微觀狀態和宏觀狀態的“橋梁”，顯然作為連結微觀和宏觀“橋梁”的關系式，既不可能單純依靠某個微觀理論導出，也不可能單純依靠某個宏觀理論導出，因為它橫跨了微觀與宏觀兩個世界。對此，玻爾茲曼以非凡的直覺，深刻地意識到，一定的孤立（N、V、E）應該包含有確定的微觀狀態數W，即W同參量 （N、V、E）之間存在著一定的函數關系W=W（N、V、E）。如果說這一認識是正確的，函數關系W=W（N、V、E）便可能成為一個連結微觀和宏觀的橋梁關系式。隨著玻爾茲曼統計理論的完成，人們無比驚奇地發現，函數關系式W=W（N、V、E）具有出乎意料的巨大功能：只要求得一個系統的W=W（N、V、E）的具體函數關系式，便可能導出該系統的全部熱運動性質和規律。后面將具體討論這方面的內容。

但是，函數關系式W=W（N、V、E）存在的本身同微觀狀態的經典力學描述方法相抵觸，因為函數關系式W=W（N、V、E）存在的本身要求微觀狀態數W必須是有限的；而根據經典力學關于廣義坐標和廣義動量連續變化的觀點，一定宏觀狀態包含的微觀狀態數必定是無窮大。如何克服這一障礙呢？可供選擇的道路只有三條：

（1）放棄函數關系W=W（N、V、E）。

（2）放棄微觀狀態的經典描述方法。

（3）改造微觀狀態的描述方法，在保留用相空間描述微觀狀態的前提下，使微觀狀態數W=W（N、V、E）成為有限值。

玻爾茲曼相信函數關系W=W（N、V、E）應該是成立的，同時又沒有理由否定微觀粒子遵從經典力學這一當時的基本信念，于是，他選擇了第三條道路。他認為統計力學要處理1019個以上的粒子的運動特性同熱力學量之間的數量關系，1019個以上的經典力學方程必定含有大量對我們得到熱力學量多余的信息。為了清除這些多余的信息，玻爾茲曼首先改造了基于經典力學基礎上的μ空間。把μ空間劃分為很多微小的相體積元，并規定：N個同種粒子組成的理想氣體系統，在μ空間的N個相點的相體積元中的一種分布方式對應了一種宏觀狀態。N個相點在各個相體積元中的任意某種分布，可以描述如下：

一般將注意第i個相體積元△τi中分布αi個粒子這樣一種分布，簡潔地表示為{αi}。分布{αi}中任意一個相體積元內中的相點數發生改變，都稱為不同的分布，都對應了不同的宏觀狀態。在一定的分布{αi}下，任意兩個相體積元內的相點交換便是不同的微觀態。這樣規定微觀態的宏觀態的描述方法后，一定宏觀狀態的微觀狀態數不僅是有限的，而且可以通過數學中的排列組合公式進行計算：分布{αi}對應的宏觀狀態所包含的微觀狀態數為

于是，由N個同種粒子組成的理想氣體孤立系的總的微觀狀態數，為所有可能的微觀狀態數之和，即

以后，人們又用類似的方法改造了?？臻g。對孤立系（N、V、E）的?？臻g將其等能面劃分為很多微小的相體積元，把?？臻g中的一個相點對應于系統的一個微觀態，改造為一個相體積元對應于一個微觀態。這樣，因等能面上的相體積數是有限的，孤立系的微觀狀態數便是有限的了。如果能夠確定相體積元的具體大小，則可以通過計算等能面上的相體積元數求得孤立系的微觀狀態數W。待量子力學建立后，人們才得以確定相體積元△τ=hNr，其中h為普朗克常數，N為系統的粒子數，r為單個粒子的自由度數。以后，當我們說一個系統具有微觀狀態數W=W（N、V、E）時，就是對以上微觀狀態的描述方法而言的。否則，談論系統的微觀狀態是沒有意義的。

以上所述為玻爾茲曼統計力學結構的第二步——確定系統狀態的描述方法。在這一步驟下的物理思想，著重闡述了玻爾茲曼宏觀狀態和微觀狀態的思考過程。玻爾茲曼的這些深刻而巧妙的思想，充分體現了他的遠見卓識和開創精神。

第三步 給出統計平均態的定義，提出等先驗幾率假設

玻爾茲曼究竟是怎樣定義統計平衡態的呢？實際上，玻爾茲曼提出了兩種定義統計平衡態的方法：（1）一個孤立系的統計平衡態是它的最可幾態；（2）一個系統的統計平衡態，是該系統長時間經歷的微觀態的平均值。

玻爾茲曼本人在第一種定義的基礎上建立了玻爾茲曼統計力學；以后，吉布斯在第二種定義基礎上建立了更加完美的吉布斯統計力學。這兩種統計力學之所以有很大差別，可以說其根源就在于它們建基于不同的統計平衡態。本文僅限于討論玻爾茲曼統計力學，以下不再涉及統計平衡態的第二種定義，以后的內容中所論及的統計平衡態都是就第一種定義而言的。

按第一種含義定義統計平衡態的思考，是從玻爾茲曼確定宏觀態和微觀態的描述方法開始的。當時他提出，組成孤立系的N個粒子的力學狀態在μ空間各相體積元的一種分布{αi}，對應了一種宏觀態，一般說，一個孤立系可以處于微觀狀態。包括熱力學平衡態和各種非平衡態。于是可以認為，N個粒子的N個相點在μ空間各相體元內的不同分布{αi}，對應了不同的非平衡態。同時一定存在某個特殊分布{αi}最接近于熱力學平衡態。可以想象，在“長時間觀測”一個孤立系的過程中，這一特殊分布的出現次數應該遠大于其他分布，出現時間應該遠長于其他分布，當時玻爾茲曼已經知道運用等先驗幾率假設；“處于熱力學平衡態下的孤立系統，各個可能在微觀狀態出現的幾率是相等的”。根據等先驗的幾率假設，這樣一特殊的分布是使微觀狀態數W（{αi}）最大的那一個分布，即最可幾分布。既然最可幾分布最接近于熱力學平衡態，自然就可將它定義為統計平衡態，并可嚴格地表述為：“一個孤立系的統計平衡態，是它的最可幾分布所對應的狀態?！边@便是第一種含義之下的統計平衡態的基礎上形成玻爾茲曼統計理論的。

朗道和粟弗席茲著的《統計物理學》的前言中指出：“在玻爾茲曼的統計方法中，說明等先驗幾率假設的作用是很困難的?！惫P者認為，在玻爾茲曼統計力學中，等先驗幾率假設是定義統計平衡態的理論基礎，由于統計平衡態的定義，在玻爾茲曼統計力學中起著核心作用，等先驗幾率假設，作為它的理論基礎的作用便不可等閑視之了。

比較以上兩種含義下的統計平衡態，可以看到，由于“最可幾態”概念存在兩種含義，或者說兩種解釋，玻爾茲曼提出的統計平衡態的第一種定義，“一定孤立系統計平衡態是它的最可幾態”，實際上包含了兩種頗為不同的統計平衡態。

以上所述為玻爾茲曼統計力學理論結構的第三步。在這一步驟下的物理思想，主要有：為什么需要定義統計平衡態；怎樣定義一個統計平衡態；定義“孤立系的統計平衡態是它的最可幾態”，實際上包含了兩種頗為不同的統計平衡態。

第四步 建立統計平衡系統遵從的方程

統計平衡系統遵從的方程，自然應從統計平衡態的定義出發去尋求。如前所述，玻爾茲曼統計力學所采用的統計平衡態的定義，實際上包含著兩種不同的統計平衡態，以下便分別從這兩種含義不同的統計平衡態出發，建立起兩套方程：

玻爾茲曼統計力學的結構簡圖

（2）l nW方程（因篇幅有限，建立這兩套方程的具體過程從略了）

第五步 比較和聯立兩類方程，以導出熱力學量的微觀表示式

第四步導出統計平衡系統遵從的方程后，第五步的任務便是將統計平衡系統同熱力學系統聯系起來。聯系的方法是，認為兩類平衡態所反映的對象是一致的，因而它各自遵從的關系式是可以比較和聯立的。分別將第四步建立的兩套方程同熱力學方程比較聯立，我們可以看到，殊途同歸，所得的熱力學量的微觀表示式是相同的（因篇幅所限，具體的比較和聯立過程從略）。

在統計力學中，用比較和聯立兩類方程的方法獲得的熱力學量的微觀表示式是必然的，按以上的分析，屬于純宏觀理論的熱力學量和熱力學方程無法直接同微觀理論掛鉤，只得建立一套能同微觀概念相聯系的統計平衡態概念及統計平衡系統所遵從的方程。但是，我們的目的終究是建立熱力學的微觀理論，這就是說，還必須把統計平衡系統所遵從的方程同熱力學方程連結起來。怎樣才能把它們連結起來呢？迄今為止，所找到的唯一方法是：認定統計平衡態同熱力學平衡態所反映的對象是一致的，它們所遵從的規律是相同的，因而表述形式相同的兩類方程，實際上是分別從微觀的角度和宏觀的角度反映著同一規律，它們相對應的項可以一一進行比較，事實上，比較和聯立兩類方程的方法意外地解決了大多數熱力學量不能同微觀量聯系起來的困難。所以，不少物理學家認為，兩類方程相比較的方法是統計力學的一個基本精神，是統計力學的中心思想。

按形式邏輯知識，比較推理屬或然推理，所得結果可能正確，也可能不正確，那么統計力學中的通過兩類方程所進行的比較推理，所得結果為什么是正確的呢？顯然，兩類方程比較推理正確的原因，正是統計平衡態同熱力學平衡態所反映的對象基本一致，兩類方程反映著同一個規律。所以，可以說，兩類方程比較推理是否正確，也是判別統計平衡態的定義是否正確的一個標準。

第六步 玻爾茲曼統計力學的運用

統計力學的運用可以分為兩個主要的方面：（1）根據玻爾茲曼關系式S=K l nW給予熱力學第二定律和第三定律以微觀解釋；（2）計算具體系統的熱運動性質和規律。計算的統一方法便可以歸納四步：建立所研究系統的微觀模型，寫出微觀粒子或系統狀態的能量表達式；計算配分函數z；通過z計算各熱力學量；討論結果。至于計算的具體方法和過程，本文就不再贅述了。

此結構圖不僅僅指出了玻爾茲曼統計力學體系的關節點和邏輯線索，如果聯系每一步驟下的物理思想和方法，將有利于從中提取物理知識、物理思想和方法。

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1671-2862（2011）02-0109-04

2011-02-03

姜小蘭，女，新鄉廣播電視大學講師，研究方向：物理教學研究。