廣義對稱性在積分計算中的應用

蘇化明, 禹春福

(合肥工業大學數學學院,合肥 230009)

廣義對稱性在積分計算中的應用

蘇化明, 禹春福

(合肥工業大學數學學院,合肥 230009)

廣義對稱性;積分計算;考研試題;競賽試題

錢昌本教授在[1]中將對稱性在定積分中應用的有關結論借助于點函數推廣為一般情形,得到如下結論.

若f(P)是區域Ω上的連續函數,且區域Ω具有某種對稱性,當函數f(P)在Ω中各對稱點處函數值的絕對值相等且符號相反時(稱f(P)為相應于區域Ω的奇函數)時,有

當f(P)在Ω中各對稱點處的函數值相等(稱f(P)為相應于區域Ω的偶函數)時,有

其中區域Ω1為區域Ω“對稱的一半”.

dx,其中n為正整數.(解放軍通訊工程學院1980年碩士研究生入學試題;上海交通大學1994年高等數學競賽題)

解被積函數可改寫為

積分區間[0,nπ]關于

解積分區域V關于平面y-z=0對稱,而被積函數關于y-z為奇函數,故由廣義對稱性知I=0.

解由曲面Σ的方程x2+y2+z2=2ax知

其中L是以點A(1,1),B(2,2)和C(1,3)為頂點的三角形正方向的圍繞.(合肥工業大學1985年碩士研究生入學試題)

解記P(x,y)=2(x2+y2),Q(x,y)=-(x+y)2,由 Green公式知

可利用積分的廣義對稱性進行求解的問題還有很多,下面再列出幾道,但不再給出解答.

[1] 錢昌本.高等數學范例剖析240題[M].西安：西安交通大學出版社,2004：148-156.

[2] 鄒節銑,陳強.1978—1983全國招考研究生高等數學試題選解[M].長沙：湖南科學技術出版社,1983：240-241.

[3] 《大學數學》編輯部.碩士研究生入學考試數學試題精解[M].合肥：合肥工業大學出版社,2009：194-195.

[4] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].2版.北京：高等教育出版社,2006：871-872.

[5] 吉林大學高等數學教研室.研究生入學考試數學試題精選詳解(上冊)[M].長春：吉林科學技術出版社,1986：174-175,195,164,167.

[6] 李心燦,季文鐸,余仁勝,等.大學生數學競賽試題、研究生入學考試難題解析選編[M].北京：機械工業出版社, 2005：331-335.

O172.2

A

1672-1454(2011)05-0138-04

2009-04-10