反冪等陣線性組合的反冪等性

燕列雅 王 艷

(西安建筑科技大學理學院,陜西西安 710055)

反冪等陣線性組合的反冪等性

燕列雅 王 艷

(西安建筑科技大學理學院,陜西西安 710055)

討論了反冪等陣線性組合的冪等性,指出可對角化矩陣可表示為反冪等陣的線性組合,并由此得到了由非奇異矩陣構造兩兩正交且可交換的反冪等陣的一種方法.

反冪等陣;線性組合;對角化;相似變換

關于兩個或三個冪等矩陣線性組合的冪等性,文獻[1-3]作了較為詳細的討論,本文討論反冪等矩陣線性組合的反冪等性問題,并得出了矩陣可以表示為反冪等陣的線性組合的結論,且由此結論的證明過程得到了由n階非奇異矩陣構造可交換且兩兩正交的反冪等陣的一種方法,這些反冪等陣的線性組合即為一n階可對角化矩陣.

定義1 對于A,B∈Mn,若AB=BA,稱A,B可交換.

引理1[4]對于A,B∈Mn,若A,B均可對角化,且AB=BA,則A,B可同時對角化.

引理2 設A∈A IMn,R(A)=r,則存在可逆矩陣P,使A=Pdiag(-Ir,O)P-1.

證設λ是A的特征值,x是對應于λ的特征向量,由Ax=λx及A2=-A知λ只能取-1和0,且-1和0分別為A的r重和n-r重特征值.

由A2=-A可得(A+I)A=O或A(A+I)=O,從而A的r個線性無關的列向量(記為P1)為對應于-1的r個線性無關的特征向量;A+I的n-r個線性無關的列向量(記為P2)為對應于0的n-r個線性無關的特征向量.于是令P=(P1,P2),則A=Pdiag(-Ir,O)P-1.

注 引理2的證明給我們提供了構造反冪等陣相似于對角陣的相似變換矩陣的方法.

證 (A1+A2)2=++A1A2+A2A1=-(A1+A2)+A1A2+A2A1.

(i)?(ii).若(A1+A2)2=-(A1+A2),則A1A2+A2A1=O,在A1A2+A2A1=O兩邊分別左乘和右乘以A1,并結合A1的反冪等性,得-A1A2+A1A2A1=O,A1A2A1-A2A1=O,于是A1A2=A1A2A1 =A2A1.再由A1A2+A2A1=O得A1A2=A2A1=O.

(ii)?(i)顯然.

(ii)?(iii).由引理2,存在可逆陣P1,使A1=P1diag(-Ir,O)P.

又由引理2,存在可逆陣P2,使

取P=P1diag(Ir1,P2),就有A1=Pdiag(-Ir1,O)P-1,A2=Pdiag(O,-Ir2,O)P-1,于是

容易得到A1A2=A2A1=O.

證由定理1和歸納法易證.

定理2 設Ai∈A IMn,R(Ai)=ri＞0,i=1,2,則下列各款等價：

(i)A1-A2∈A IMn;

(ii)A1A2=A2A1=-A2;

(iii)存在可逆陣P,A1-A2=Pdiag(-Ir1-r2,O)P-1.

證(A1-A2)2=A+A-A1A2-A2A1=-A1-A2-A1A2-A2A1

(i)?(ii).若(A1-A2)2=-(A1-A2),則A1A2+A2A1=-2A2,在A1A2+A2A1=-2A2兩邊分別左乘和右乘以A1,并結合A1的反冪等性,得A1A2A1=-A1A2,A1A2A1=-A2A1.再由A1A2+A2A1=-2A2,則有A1A2=A2A1=-A2.

(ii)?(i).顯然.

(ii)?(iii).由A1A2=-A2知R(A2)≤R(A1),即r2≤r1.由引理2,存在可逆陣P1,使

又由引理2,存在可逆陣P2,使A11=P2diag(-Ir2,O)P.取P=P1diag(P2,In-r2),則有

由于r1≥r2,所以A1-A2=Pdiag(-Ir1-r2,O)P-1.

(iii)?(ii).由A1-A2=Pdiag(-Ir1-r2,O)P-1,可取

則顯然有A1A2=A2A1=-A2.

證必要性.設A可對角化,則存在可逆陣P,使A=Pdiag(λ′1Ir1,λ′2Ir2,…,λ′sIrs)P-1,其中r1+r2+…+rs=n,λ′1,λ′2,…,λ′s是A的互不相同的特征值.令λi=-λ′i,則

[1] Oskar Mariabaksalary,Julio Benitez.Idempotency of linear combinations of three idempotent matrices,two of which are commuting[J].Linear Algebra Appl.,2007,424：320-337.

[2] Baksalary J K,Baksalary O M.Idempotency of linear combinations of two idempotent matrices[J].Linear Algebra Appl.,2000,321：3-7.

[3] Baksalary O M.Idempotency of linear combinations of three idempotent matrices two of which are disjont[J], Linear Algebra Appl.,2004,388：67-78.

[4] Horn R A,Johnson R.Matrix Analysis[M].Cambridge.U K：Cambridge University Press.1985.

Anti-idempotency of Linear Combinations of Anti-idempotent Matrices

YA N L ie-ya, WA N G Yan
(School of Science,Xi’an University of Arch.&Tech.,Xi’an 710055,China)

Anti-idempotency of linear combinations of anti-idempotent matrices are investigated.A result that diagonalization matrices are expressed to linear combinations of anti-idempotent matrices is given.Also,we obtain a pathway of constructive anti-idempotent matrices of pairwise commutaive and orthogonal.

anti-idempotent matrices;linear combinations;similarity transformation;diagonalization

O151.21

A

1672-1454(2011)05-0108-04

2008-11-17;[修改日期]2009-02-03

國家自然科學基金資助項目(10971160);陜西省教育廳專項基金