一個有趣的簡諧振動

張洪寶

德州職業技術學院 山東德州 253034

一個有趣的簡諧振動

張洪寶

德州職業技術學院 山東德州 253034

簡諧振動是物體在某一平衡位置附近所作的往復運動。若把地球看作一個均勻的球體，并沿地軸鉆一個洞，把物體在洞口由靜止狀態放入，則物體將做以地心為平衡位置的簡諧振動。

簡諧振動；地軸；平衡位置；周期

Abstract: Harmonic vibration of an object is a reciprocating motion near the equilibrium position. If the Earth is a uniform sphere, and drill a hole along the axis, and place the object into the hole from the rest, the object will to do harmonic vibration, the center of the earth as equilibrium position.

Key words: harmonic vibration; the earth’ axis; equilibrium position; period

有關簡諧振動的應用很多，有關簡諧振動的研究也比較普遍，本文對簡諧振動的研究僅限于理論方面，更準確地說，是對一個假設的現象進行研究而得出的結論：一個很有趣的“簡諧振動”。在講述自由落體運動時聯想到，若將地球鉆透，把物體在洞口放入，物體將做什么樣的運動呢？筆者通過對物體進行受力分析、理論推導而得出了結論。

1 放入洞中物體受力情況

把地球當做一個均勻的球體，沿地軸由北極至南極鉆一個洞。以地心為原點，以地軸為X軸，指向北極的方向為X軸正方向，建立空間直角坐標系。設物體質量為m，在某時刻物體處在X軸上距原點為X處。取地球某點(x，y，z)處體積元為dxdydz，則物體m所受體積元的引力為：

在x2+ y2+ z2≤ R2區域內積分,求出F，F，

(1)式即為物體所受外力與位置X之間的關系。

2 物體的動力學方程

(2)式即為簡諧振動的動力學方程。

3 物體所做簡諧振動分析

由物體的動力學方程可得出結論：

在不考慮空氣阻力時，由靜止放入洞中的物體將做簡諧振動。

3.1 該簡諧振動的平衡位置

由(1)式,當物體處于平衡位置時,Fx=? kX =0可得：X=0所以物體做簡諧振動時的平衡位置在地心。

3.2 該簡諧振動的運動方程

3.3 該簡諧振動的振幅

由運動方程可知,該簡諧振動的振幅等于地球的半徑Re。也就是說,當把物體在洞口由靜止狀態放入后,物體離地心最遠只能到達洞口,而不會從洞中掉出。

3.4 該簡諧振動的周期

(4)式中g為地球表面的重力加速度g=9.8m/s2

3.5 該簡諧振動的速度

由(7)式可知，由洞口放入的物體到達地心時的速度恰好與人造地球衛星在地球表面附近繞地球做圓周運動的速度(即第一宇宙速度)相同。

根據以上分析可知，此簡諧振動如同人造地球衛星在地球表面附近繞地球所作的圓周運動在地軸上的投影(假設衛星是沿徑線繞地球做圓周運動)。

[1] 四川大學數學學院高等數學教研室.高等數學(第2冊)[M].北京：高等教育出版社，2009

[2] 梁昆淼.力學(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2010

[3] 張漢壯，王文全.力學[M].北京：高等教育出版社，2009

[4] 漆安慎，杜嬋英.力學(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2005

An interesting harmonic vibration

Zhang Hongbao
Dezhou vocational and technical college, Dezhou, 253034, China

2010-12-23 稿件編號：1012123

張洪寶，本科，副教授。