簡論對稱區間上的定積分題型

徐 健，張孔生

(安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030)

簡論對稱區間上的定積分題型

徐 健，張孔生

(安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030)

本文從微積分中具有或可轉換成對稱積分區間特征的定積分入手，得出求解定積分的一種考慮方法，從按此思路的求解可以發現，具有某些特征的定積分問題可以通過積分區間和被積函數的分解與合成得到一個新的易于求解的定積分．同時本文也推廣到廣義積分的形式．

微積分；對稱積分區間；定積分分解合成

微積分中的積分問題是其重要的基礎內容，而求解定積分則常出現在各種題目和各類問題的解決步驟中．在定積分里有一類積分區間是對稱類型的題目，在解決這類問題中有些結論可以直接利用，但是通常情況下問題往往可能不適合使用已有結論，那么下面就針對這類問題進行分析．

1 例題求解及思路總結

微積分中有如下結論：若函數 f(x)為閉區間[-a,a]上的連續函數，當 f(x)為偶函數時有結論是采用負代換的方法通過定積分換元法結合奇偶函數性質來證明的，通常也采用奇偶函數對稱圖像來加以說明，在各種微積分教材中都有詳細的說明，這里就不再贅述了[1]．下面直接來看一些例題：

(1)直接使用結論的情況[2]：

(4)當被積函數是非奇非偶函數時，往往可以有先拆后合定積分的方法[3]：上題中定積分雖然是一個對稱區間的形式，但是被積函數卻非奇非偶，而且也無法通過代數分解成奇偶函數的和，故而無法使用結論．但是又由于對稱區間的原因此題可以將一個定積分分解成兩個互為相反積分區間的定積分：這樣可以通過負代換的方法把積分區間又統一成[0,a]，然后兩個定積分就可以變為一個新的定積分，而這個新的定積分的被積函數又恰好可以化簡，從而解決問題．

由此可以總結如下的思路：定積分的分解和合成可以有兩種形式：一是被積函數的分解和合成，二是積分區間的分解和合成．如果一個定積分不好求解的時候，可以通過先拆后合的方法變換成一個新的定積分求解，往往會起到意想不到的效果．如例5中就是先積分區間的拆，然后被積函數再合．但是往往拆完要把兩個定積分的積分區間統一，所以需要進行換元．下面由此思路來解決一些問題：

2 一些正常積分的解決

一些求解微積分的題目就可以利用上面總結的定積分分解合成思路來解決，這其中包括被積函數先分解如例6，以及積分區間先分解如例7：

分析：此題如例 4積分區間不是對稱區間，但易見被積函數中含有lnx，通常處理方法是分部積分法和換元法．這里使用換元法，令lnx=t，積分區間就變為對稱區間．再如例 5先分積分區間變成兩個定積分，再通過代換合成一個定積分求解．

通過上面的一些題目可以發現，對稱區間是這一類題目的特征，但是互為倒數的積分區間也往往可以采用上面的解題思路，如例4和例7，下面的例8也采用先分解積分區間，再統一積分區間，最后通過被積函數合成一個新的定積分進行求解的．

綜上所述當出現上面總結的積分區間特征的題型時，奇偶函數的結論不再適用，就可以采用以上考慮的思路求解，往往有意想不到的效果．特別注意如果要遇到廣義積分時，題目往往也會出現類似上述的類型，但解決就要使用廣義積分特有的思路，用極限的形式來表達，在各類微積分教科書中都有介紹，這里就不再重復了．

定積分求解的方法很多，題目也都比較靈活，在求解定積分的題目時更應該進行的是思路的總結、方法的提煉以及特征的提取，這樣往往可以舉一反三，掌握一類題型的求解．

[1] 李天盛.經濟數學基礎:微積分[M].西安:電子科技大學出版社,2002:245-303

[2] 費定暉,周學圣.吉米多維奇數學分析習題集題解(三)[M].濟南:山東大學出版社,2003:309-336.

[3] 劉建宇.分割積分區間計算定積分[J].高等數學研究, 2009, 12 (6):31-32.

Abstract:This paper analyses some definite integral types that have symmetric integral interval. A new idea can be obtained.And we can find some definite integral types having the same characteristic can be solved by that idea. That is decomposition and combination of integral interval and integrand. Meanwhile this characteristic also can be generalized to improper integral.

Key words:Calculus; symmetric integral interval; decomposition and combination of integral.

(責任編校：李建明英文校對：李玉玲)

Analysis on Definite Integral in Symmetric Interval

XU Jian, ZHANG Kong-sheng

(School of Statistics & Applied Mathematics, Anhui University of Finance & Economics, Bengbu, Anhui 233030, China)

G642

A

1673-2065(2011)01-0073-03

2010-11-05

安徽省高校自然科學研究項目(KJ2010B001; KJ2010B007)

徐 健(1982-),男,安徽鳳陽人,安徽財經大學統計與應用數學學院講師,理學碩士;

張孔生(1978-),男,安徽青陽人,安徽財經大學統計與應用數學學院講師,理學碩士.