輔助函數在定積分中的運用

吳麗崇，孫鳳忠

(1. 衡水職業技術學院 經濟管理系，河北 衡水 053000;2. 衡水職業技術學院 基礎教學部，河北 衡水 053000)

輔助函數在定積分中的運用

吳麗崇1，孫鳳忠2

(1. 衡水職業技術學院 經濟管理系，河北 衡水 053000;2. 衡水職業技術學院 基礎教學部，河北 衡水 053000)

在定積分中，為了求得某些問題的解決，我們經常需要尋找某些證明方法，有的還需要構造與問題相關的輔助函數來研究其性質，從而得出欲證明的結論．構造輔助函數實質上就是分析法的一種技巧，在證明命題的過程中要不斷研究問題的本質，從而尋找構造輔助函數的方法．

輔助函數法；定積分；分析法

構造函數法就是構造出與原命題相符且關系密切的函數，從函數的角度觀察、分析、解釋命題，溝通命題中條件與結論的內在聯系，從而使命題(或問題)得以解決．

1 構造函數法解題的基本思路

構造函數法解題的基本思路如圖1所示：

圖1 構造函數法解題的基本思路

下面在定積分中討論輔導函數的應用．

1.1 定積分等式的證明技巧

輔助函數法是定積分等式的一種證明技巧，適用于積分限中至少存在一點ξ或x0，使等式成立的命題的證明[1]．輔助函數F(x0)的作法如下：(1)將欲證結論中的(或x)改寫成．(2)移項，使等式一端為零，則另一端即為所作的輔助函數F(x)．

1.2 定積分不等式的證明技巧

分析 這里為證明積分不等式，我們可以引進一個輔助函數——相應的變限積分，把問題轉化為用微分學的方法證明函數不等式．因此我們可以作輔助函數

這類題型的間接證明過程：先做輔助函數F(x)，驗證F(x)滿足零值定理，再由零值定理得出命題的證明[3]．輔助函數F(x)的作法如下：1)將欲證結論中的(或x0)改寫成x．2)移項，使等式一端為零，則另一端即為所作的輔助函數F(x)．

2 結論

構造函數法就是構造出與原命題相符且關系密切的函數，從函數的角度觀察、分析、解釋命題，溝通命題中條件與結論的內在聯系，從而使命題(或問題)得以解決．

總之，輔助函數的構造離不開分析、推理和聯想，解題時只有把知識學得系統、深入、融會貫通，才會取得事半功倍的效果．

[1] 翟延慧.利用構造函數法解題技巧[J].長春師范學院學報,2001(5):24-25.

[2] 范東林.例談構造法解題[J].宿州師專學報,1999(2):61-63．

[3] 周玉平.高等數學中輔助函數的構造方法[J].揚州職業大學學報,2002(6):46-49.

Abstract:In order to figure out certain questions in definite integral, we need to seek certain proof method frequently, even create an auxiliary function related to the question to study its nature, thus draws the conclusion. In essence creating an auxiliary function is a skill of the analytic method, and we must unceasingly study the question’s essence in the propositionproving process, thus seek the method of creating an auxiliary function.

Key words:the method of auxiliary function; definite integral; analytic method

(責任編校：李建明英文校對：李玉玲)

Application of Auxiliary Function in the Definite Integral

WU Li-chong1, SUN Feng-zhong2

(1. Department of Economic Management, Hengshui College of Vocational Technology, Hengshui, Hebei 053000, China;
2. Department of Basic Teaching, Hengshui College of Vocational Technology, Hengshui, Hebei 053000, China)

O172

A

1673-2065(2011)01-0019-03

2010-09-08

吳麗崇(1984-),女,河北衡水人,衡水職業技術學院經濟管理系講師;

孫鳳忠(1974-),男,河北景縣人,衡水職業技術學院基礎教學部講師.