關于二元函數極限的討論

郭竹梅，高智中

(安徽科技學院 理學院，安徽 鳳陽 233100)

關于二元函數極限的討論

郭竹梅，高智中

(安徽科技學院 理學院，安徽 鳳陽 233100)

二元函數求極限是高數中的難點；本文給出7種求二元函數極限的方法，并進一步給出極限一定不存在的3類二元函數．

二元函數；極限

極限理論是微積分學的基礎，極限的思想方法在許多領域有著廣泛的應用，二元函數的極限與一元函數的極限含義相同，它研究的是平面上動點趨向某一定點時，相應的函數值的變化趨勢．根據二元函數極限的定義，在點P0(x0,y0)的鄰域內，動點P(x,y)趨向于點P0(x0,y0)的方式是任意的．因此，在判定二元函數極限是否存在以及極限的計算上都有一定難度．文獻[1]給出了一些求二元函數極限的方法，本文在完善求二元函數極限方法的同時，給出了極限一定不存在的3類二元函數．

1 二元函數極限的求法

1.1 利用二元函數的連續(xù)性

在例 7中，采用了代換x=rcosθ,y=rsinθ ．但實際上(x,y)→(0,0)與r→0并不等價．事實上(A是一常數)表明動點(x,y)沿著任一與軸正向夾角為的半直線趨向(0,0)時，f(x,y)無限接近于常數A，但這并不能說明(x,y)以任意方式趨向(0,0)時，f(x,y)也無限接近于常數A，即并不能保證等價于當r→0時，f(rcosθ ,rsinθ)在[0,2π]上一致收斂于常數A[3]．

眾所周知，要證明二元函數的極限不存在，只要指出當動點以兩種特殊方式趨于定點時，函數趨于2個不同的常數值；或者當動點以一種特殊方式趨于定點時，函數不趨于常數即可．下面指出3種極限一定不存在的二元函數．

2 極限不存在的3類二元函數

文中給出了幾種常用的二元函數極限的求法，對于二元函數的極限還有利用二重積分的定義、洛必達法則、泰勒展開等方法[4-5]．對于具體題目要注意對上面幾種方法的綜合運用．

[1] 郭俊杰.二元函數求極限的方法[J].衡水學院學報,2006,8(1):15-16.

[2] 符興安.二元函數極限計算方法研究[J].楚雄師范學院學報,2003,18(6):20-22.

[3] 殷乘元.二重極限的一致收斂判別法[J].高等數學研究, 2003,6(1):34-38.

[4] 陶會強,羅成廣.二元函數極限的計算方法[J].天中學刊,2009,24(2):3-5.

[5] 陳明.泰勒公式在判定二元函數極限存在性中的應用[J].數學理論與應用,2004,24 (4):67-69.

Abstract:How to get the limit of bivariate function is a difficult point in advanced mathematics. Nowseven methods are provided in this article and three kindsof bivariate function are given, whose limits do not exist certainly.

Key words:bivariate function; limit

(責任編校：李建明英文校對：李玉玲）

Discussionabout the Limit of Bivariate Function

GUO Zhu-mei, GAO Zhi-zhong

(Institute of Science, Anhui Science and Technology University, Fengyang, Anhui 233100, China)

O13

A

1673-2065(2010)04-0017-03

2010-08-29

安徽科技學院校級課題資助項目(ZRC2008194)

郭竹梅(1980-),女,安徽淮北人,安徽科技學院理學院教師,理學碩士;

高智中(1979-),男,山西神池人,安徽科技學院理學院教師,理學碩士.