復(fù)Loeb測(cè)度空間中的Radon-Nikodym定理

史艷維，陳文利，馮晶晶

（西安培華學(xué)院 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710125）

復(fù)Loeb測(cè)度空間中的Radon-Nikodym定理

史艷維，陳文利，馮晶晶

（西安培華學(xué)院 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710125）

在非標(biāo)準(zhǔn)多飽和模型下，討論了復(fù) Loeb測(cè)度空間中的 Radon-Nikodym定理．首先，給出了復(fù)測(cè)度及其變差相應(yīng)的Loeb測(cè)度之間的關(guān)系．其次，給出了有限測(cè)度的復(fù)Loeb空間中的Radon-Nikodym定理．最后，得到了σ-有限測(cè)度的復(fù)Loeb空間中的Radon-Nikodym定理．

復(fù)Loeb測(cè)度空間；絕對(duì)連續(xù)；Radon-Nikodym定理

自20世紀(jì)60年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家Robinson A創(chuàng)立了非標(biāo)準(zhǔn)分析理論以來(lái)[1]，非標(biāo)準(zhǔn)分析的理論和應(yīng)用得到了不斷的發(fā)展[2-4]．作為以數(shù)理邏輯和模型論為基礎(chǔ)的新興的數(shù)學(xué)分支，非標(biāo)準(zhǔn)分析為其他數(shù)學(xué)方向的研究提供了新的方法和新的思路．1975年，Loeb P在文獻(xiàn)[5]中應(yīng)用非標(biāo)準(zhǔn)飽和模型，提出了一類以內(nèi)集為支集的測(cè)度空間理論，即 Loeb測(cè)度，現(xiàn)在已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于測(cè)度擴(kuò)張、測(cè)度表示等許多領(lǐng)域，是近年來(lái)非標(biāo)準(zhǔn)分析理論最活躍的研究方向之一．

本文在非標(biāo)準(zhǔn)多飽和模型下，討論了復(fù)Loeb測(cè)度空間中的Radon-Nikodym定理．給出了復(fù)測(cè)度及其變差相應(yīng)的Loeb測(cè)度之間的關(guān)系．并得到了有限測(cè)度和-有限測(cè)度的復(fù)Loeb空間中的Radon-Nikodym定理．本文總假設(shè)非標(biāo)準(zhǔn)模型V(*S)是多飽和模型．

設(shè)(Y,A,ν)是一個(gè)內(nèi)有限可加復(fù)測(cè)度空間，ν=ν′ +iν ′，其中ν′和ν′是(Y,A)上的內(nèi)有限廣義測(cè)度．令L(A,ν)=L(A,ν′)∩L(A,ν′)，νL=+′，則復(fù)測(cè)度空間(Y,L(A,ν),νL)稱為關(guān)于(Y,A,ν)的復(fù)Loeb空間，簡(jiǎn)記為(Y,L(A,νL)．

特別地，設(shè)(X,A,μ)是一個(gè)復(fù)測(cè)度空間，由轉(zhuǎn)換原理， (*X,*A,*μ)是內(nèi)有限可加復(fù)測(cè)度空間，其相應(yīng)的復(fù)Loeb空間為(*X,L(*A),(*μ)L)．

定理1 設(shè)(Y,A,ν)是內(nèi)有限可加復(fù)測(cè)度空間，則

(1) L(A,ν)=L(A,|ν|)．

(2) 對(duì)于任意的A∈L(A,ν)，|ν|L(A)=|νL|(A)．

證明 (1) 因?yàn)長(zhǎng)(A,ν)=L(A,ν′)∩L (A,ν′)，于是L(A,ν′)=L(A,|ν′|)，L(A,ν′)=L(A,|ν′|)，所以L(A,ν)=L(A,|ν′|)∩L (A,|ν′|)．對(duì)于任意的A∈L(A,ν)，則A∈L(A,|ν′|)且A∈L(A,|ν′|)，由Loeb測(cè)度的定義，對(duì)于任意的ε＞0，存在Cn,Dn∈A，En,Fn∈A使得Cn?A?Dn，En?A?Fn且，

下面的定理稱為復(fù)Loeb空間中的Radon-Nikodym定理．

至此，z值已不能再改進(jìn)．即得最優(yōu)解：maxz=8,x*=（x1,x2,x3）=（1,0,1）．

比較表 1與表 2，顯然表 2的計(jì)算判斷次數(shù)明顯少于表1的計(jì)算判斷次數(shù)，表2總共只計(jì)算判斷了12次．而表1總共要計(jì)算判斷24次．

通過實(shí)例分析比較，我們可以得出這樣一個(gè)結(jié)論：隱枚舉法和改進(jìn)的隱枚舉法在對(duì)同一個(gè)問題的求解中，解的結(jié)果是完全相同的．但是，改進(jìn)的隱枚舉法在實(shí)際運(yùn)用中卻凸現(xiàn)了比隱枚舉法更加方便快捷的優(yōu)越性，表現(xiàn)在：對(duì)隱枚舉法的第一步進(jìn)行改進(jìn)，即對(duì)于目標(biāo)函數(shù)為最大(小)化的，我們?nèi)魪哪繕?biāo)函數(shù)中 xj的系數(shù)為正(負(fù))的變量都取 1而其他變量都取 0開始試探，就會(huì)發(fā)現(xiàn)下面步驟的運(yùn)算次數(shù)會(huì)大大減少，本文例 1使用了2種方法進(jìn)行求解，大家明顯可以看到使用改進(jìn)的隱枚舉法求解時(shí)確實(shí)大大地減少了運(yùn)算次數(shù)，并且在運(yùn)算次數(shù)大大減少的同時(shí)，還提高了運(yùn)算的精確度．也體現(xiàn)了這種方法在推動(dòng)實(shí)際工作實(shí)踐中的有效性．

表2 改進(jìn)后的判斷過程

Abstract:This paper, from a perspective of contrastive analysis, has researched into the improvement of the Implicit Enumeration Method in applying the 0-1 Integer Programming in the Linear Programming. Practical examples have proved that the improved method is faster and feasible.

Key words:the 0-1 Integer Programming; the Implicit Enumeration Method; the improved enumeration

(責(zé)任編校：李建明英文校對(duì)：李玉玲)

Reflections on Improving the Implicit Enumeration Method

CHENG Hong-ping1; ZHAO Yin-feng2

(1. Teaching Office of Mathematics, Xi’an Eurasia University, Xi’an, Shaanxi 710065, China;
2. Siemens Signaling Company Ltd. Xi’an, Shaanxi 710016, China)

O141.41

A

1673-2065(2011)01-0012-03

2010-08-05

陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2007A12); 西安培華學(xué)院校級(jí)課題資助項(xiàng)目(PHKT029201011)

史艷維(1980-),女,陜西西安人,西安培華學(xué)院基礎(chǔ)部教師,理學(xué)碩士.