優美的擺線——2011年高考數學江西卷理科第10題賞析

332100 江西省九江第一中學 江民杰

2011年高考已落下帷幕，江西卷理科第10題及文科第10題立意新穎，構思獨特，其內容涉及擺線，是教材內容的延伸，較大程度考查了學生數學能力.本文以理科第10題為起點，進一步認識擺線及其方程.

1 賞析

(2011年江西)如圖1，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當小圓這樣滾過大圓內壁的一周，點M，N在大圓內所繪出的圖形大致是

解 方法1 特殊位置可選A.

由平面幾何知，兩圓內切，故點N，O2，P三點共線，

故NP為小⊙O2的直徑，從而∠PM'N=90°，

又∵∠MNP=θ，故PM'⊥x軸.從而M'必在x軸上，故M點的軌跡為y=0(-1≤x≤1)同理N點的軌跡為x=0(-1≤y≤1)，選 A.

2 溯源

我們知道：一個圓在平面內沿著一條直線無滑動地滾動，我們把圓周上一定點的運動軌跡叫做平擺線.教材選修4-4專門討論了平擺線.

實質上，本題就是歷史上著名的卡丹問題：當一個圓盤沿一個半徑是它2倍的圓內無滑動地滾動時，小圓上一點畫出怎樣的圖形.

如果我們不限制小圓半徑和大圓半徑的關系，那么更一般的情況是怎樣呢?

一個動圓在定圓內無滑動滾動時，動圓上一定點的運動軌跡叫做內擺線.

如圖3所示，設定⊙O半徑為R，動圓半徑為r，取定圓圓心O為原點，點A為動圓圓周上所規定的一個定點，并記A點是動圓開始滾動時與定圓的切點，以OA為x軸，建立直角坐標系，當動圓滾動到與定圓相切于B點時，A點相應運動到A'點，令∠AOB=t.

則內擺線的參數方程為

則得到動點A的軌跡方程為

即y=0(-2r≤x≤2r).

圖4

本題就是R=2r時內擺線的特例.

實際上，一個動圓在定圓外無滑動滾動時，動圓上一定點的運動軌跡叫做外擺線.讀者可類似推出其參數方程.

3 思考

本題作為新課改首次高考題，立意新穎，既能較好地考查學生的能力，又體現了新課程改革的理念.本題是選修教材4—4《平擺線》內容的延伸，做到了源于課本、高于教材，體現了公正公平.近年來，全國統一高考江西卷每年都設計幾道立意新穎的試題(如解析幾何題，每年都在經典幾何中披掛那些有趣味的定理，如2008年文科的蝴蝶定理、2009年文科的彭色列閉形定理，值得回味與關注)，這種命題思路有利于中學數學的教學，有利于培養學生后續數學學習能力.因此，我們進行高考復習指導時，要減少大規模的強化訓練，緊扣新課程標準，以教材為本、夯實基礎;要設計一些好的研究性課例，引領學生思考分析、感受過程、培養學生動手觀察，解決問題的能力;平時測試要設計一些動手實踐的試題，培養學生學習數學的興趣，激發學生探究問題的本質，體現新課程改革的精神，真正做到減輕學生的負擔.