彩蝴蝶定理
2011-08-27 02:43:10225126江蘇省揚州市邗江區蔣王中學俞能華
中學數學雜志 2011年15期
225126 江蘇省揚州市邗江區蔣王中學 俞能華
文［1］介紹了圓中的兩個著名定理：蝴蝶定理、坎迪定理.
文［2］將上述兩個定理統一推廣到兩同心圓中，得到
圖1
圖2
圖3
受此啟發，作合情推導，將以上定理進一步推廣到三個(圖2)、四個(圖3)同心圓中，皆得“彩蝴蝶定理”.
如圖2，設三圓是同心圓，⊙O3的弦P3Q3與其他圓 交 于P1，P2，Q1，Q2，在⊙O1的弦P1Q1上取一點M，過點M另作⊙O3的兩弦A3C3，B3D3，A3C3與其他圓交于點A1，A2，C1，C2，B3D3與其他圓交于點B1，B2，D1，D2，連接A1B3，A2B2，A3B1，C1D3，C2D2，C3D1，依次交P3Q3于點S1，S2，S3，T1，T2，T3.則
證明從圖2中提取⊙O2及相關線段考慮，滿足坎迪定理，
從圖2中提取⊙O1，⊙O3及相關線段考慮，滿足花蝴蝶定理，
①+②，定理得證.
四個同心圓情形，彩蝴蝶定理的敘述類似，證明只需兩次用花蝴蝶定理.
圖3
文中四個定理的內在聯系勿需贅述.值得補充的一點：無論花蝴蝶定理還是彩蝴蝶定理，都不強求同心圓條件，改依次內含足矣，證明不受影響.
1 周春荔.蝴蝶定理［J］.數學通報，2004，1
2 郝志剛.花蝴蝶定理［J］.數學通報，2010，4
