談?wù)勥@道“合情推理”高考題

442001 湖北省十堰市東風(fēng)高中 甘志國

1 這道“合情推理”高考題是考查探究能力的好題

“合情推理”(包括歸納與類比)是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(俗稱新課標(biāo)教材)《數(shù)學(xué)·選修1－2·A版》(人民教育出版社2007年第2版)(文科使用)及《數(shù)學(xué)·選修2－2·A版》(人民教育出版社2007年第2版)(下簡稱《選修2－2》)(理科使用)中的內(nèi)容，下面以2010年高考福建卷文科第16題來談?wù)劇昂锨橥评怼备呖碱}的答題技巧及師生在復(fù)習(xí)備考時要注意的問題.

高考題 (2010年福建文16)觀察下列等式：

可以推測，m－n+p = ______.

解 962.

易觀察得m=29=512，下面再來求p和n：可設(shè)

因為當(dāng) k=1，2，3，4 時，分別有 a1=2=2 ×12，－8=－2×22，18=2×32，－32= －2×42，所以可猜測當(dāng) k=5時a2=2×52=50，即 p=50.

當(dāng) k=1，2，3，4 時，分別有 a2=0，8，－48，160，由此難以猜測出當(dāng)k=5時a2=?我們再想別的辦法來求n：在題中第(5)個式子令α=0，得

解得 n= －400，p=50.

文獻(xiàn)［1］說，據(jù)福建省普教室抽樣統(tǒng)計知，本題平均分為0.02，難度系數(shù)為0.005.為什么本題的解答情況會如此之差呢?筆者認(rèn)為不是本題有多難，而是老師在指導(dǎo)復(fù)習(xí)備考時出現(xiàn)了嚴(yán)重偏差：沒有教會學(xué)生審題，導(dǎo)致學(xué)生只會盲目做題，結(jié)果是對多次做過的題型能熟練做(只是“熟練做”而已，至于收效往往“甚微”)，對做得少或沒做過的題型就亂做一氣，反正都能不管對錯的做得很快，且絕大部分學(xué)生對自己的解答不敢斷定對錯(除非對照標(biāo)答后)，所以就養(yǎng)成了只管快做題不管對錯也不總結(jié)的習(xí)慣.針對此，筆者提出、疾呼過“數(shù)學(xué)教學(xué)更需要‘慢教育’”、“解數(shù)學(xué)題要注重‘思、探、練、變、提’的過程”、“數(shù)學(xué)教學(xué)要注意有效性原則和可接受性原則”、“應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)特困生的成長”、“反對題海戰(zhàn)術(shù)”、“應(yīng)對高考需要研究性備考”等觀點(分別見文獻(xiàn)［2］－［7］)，若師生在復(fù)習(xí)備考時注重了它們，即使少做點題，效果也會好得多.正如文獻(xiàn)［8］末所說的：是的，數(shù)學(xué)教學(xué)基本上就是解題教學(xué)，但絕不是陷入茫茫題海之中而難以自拔.盲目地解十道題與把一道題探究兩、三次效果是不一樣的，師生的收獲、幸福指數(shù)也差別很大.

文獻(xiàn)［1］還說，該題的確思維能力要求太高，難度太大，作為一道文科的填空題是否合適，很值得商榷.筆者認(rèn)為，該題是專家精心編制的一道好題(著名數(shù)學(xué)高考專家張飴慈教授也在文獻(xiàn)［9］中說該題注重了學(xué)習(xí)、探究能力的考查)，不要因為解答情況極差就說題目太難，確實是在復(fù)習(xí)備考時出現(xiàn)了差錯.并且像這樣的例子還有，比如文獻(xiàn)［10］就有以下論述：

首都北京2010年的高考卷是北京第一年的新課改高考卷，對全國即將參加新課改地區(qū)的高考將起著風(fēng)向標(biāo)的作用.據(jù)知情者透露，此份試卷看似不難，且命題者很好地體現(xiàn)了新課改的精神，但考生的得分情況卻很差(均分比2009年低了近10分).我們來看看理科解答題的第一題(即第15題)：

已知函數(shù)f(x)=2cos2x+sin2x－4cosx.

(2)求f(x)的最大值和最小值.

不少考生對第(1)問就花了很長時間卻做不出，原因是他們在按照“先化簡，再求值”及“遇到三角函數(shù)時先要把它化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式”的思維定勢(因為平時見到的題都是這樣的)去化簡題中的函數(shù)式.

對于第(1)問，直接代入求解，不是最好的方法么?第(2)問是化不成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式的，但可以化成二次函數(shù)的形式f(x)=3 cos2x－4cosx－1后再用換元法求解，也可用導(dǎo)數(shù)求解呀，這些都是常規(guī)方法、通性通法呀!

2 對這道高考題的深入研究

定理 若 n，k∈N*，則

存在 a0，a2，…，a2k－2∈Z，使

證明 由棣莫佛(AbrahamdeMoivre，1667－1754)公式，得

再由二項式定理，將該式左邊展開后與右邊相比較可得

其中 an－2，an－4，…∈Z，從而可得①②③式均成立.

由①知，可設(shè)

其中 an－2，an－4，an－6，…，∈Z.

把④式兩邊對α求導(dǎo)后再乘以－1，得

兩邊再對α求導(dǎo)，得

把它與④相比較，得

再由①式，得結(jié)論(1)成立.

把恒等式

的左邊用二項式定理展開后與右邊相比較可得

再由②式，得結(jié)論(2)的前半部分成立.

由恒等式

再由③式，得結(jié)論(2)的后半部分也成立.

由定理還可驗證文獻(xiàn)［1］末的四個未證明的結(jié)論均是正確的.

1 胡寅年.究竟難在哪里?——2010年福建卷文科第16題解析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)(高中)，2011，5

2 甘志國.數(shù)學(xué)教學(xué)更需要“慢教育”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010，3

3 甘志國.“思、探、練、變、提”的解題教學(xué)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版)，2009，12

4 甘志國.數(shù)學(xué)教學(xué)要注意有效性原則和可接受性原則［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2010，5

5 甘志國.教育者也要關(guān)注另一個1%——談數(shù)學(xué)特困生的成長［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2011，1 ～2

6 甘志國.利滾利、漂洗衣服與題海戰(zhàn)術(shù)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版)，2011，3

7 甘志國.應(yīng)對高考需要研究性備考——兼評2008年高考陜西卷(理科)壓軸題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣州)，2009，5

8 甘志國.對《選修2－2》中一道習(xí)題的研究［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版)，2011，4

9 張飴慈，薛文敘，胡鳳娟，王尚志.2010年高考數(shù)學(xué)試題的評價［J］.基礎(chǔ)教育課程，2010，9

10 甘志國.2011年高考湖北數(shù)學(xué)卷創(chuàng)新點預(yù)測［J］.數(shù)學(xué)通訊，2011，3 下