立體圖形平面化探究

立體幾何是平面幾何的推廣和發展，因此解決立體幾何問題的基本思考方法是：尋找正確的手段和方法，將它轉化為平面幾何去解決。立體幾何中的三個公理，特別是公理3及其三個推論，是立體圖形轉化為平面的理論依據。立體圖形平面化是立體幾何中主要的轉化方法，它主要表現在以下幾方面：

1.空間角的平面化。

空間角是指異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的總稱。這三個概念的定義，為我們把空間角轉化為平面角提供理論依據和具體的方法。因此，在一個問題中，如果條件或結論出現空間角的概念，首先要以概念為指導作出有關的空間角，然后逐步轉化為平面角去解決。

例1：底面是等腰梯形的四棱錐S-ABCD，AD=BC，AB=2CD=2SD，∠DAB=60°，SD⊥底面ABCD。求：（1）側面SAB與底面ABCD所成二面角的大小；

（2）側棱SB與底面ABCD所成的角；

（3）異面直線SB和AD所成的角。

解題思路：

（1）作SE⊥AB交AB于E，連結DE。則∠DES即為所求二面角的平面角。

（2）連接SB，DB，則∠SBD即為所求的直線與平面所成的角。

（3）作BF∥AD交DC延長線于F。連接SF，則∠SBF即為異面直線所成的角。

2.空間距離的平面化。

立體幾何中的距離問題，根據它們的定義都可以轉化為兩點間的距離問題，這就是空間距離平面化的理論依據。例如求異面直線距離的基本方法是：或轉化為求它們公垂線段的長；或轉化為求直線平行于平面間的距離；或轉化為求二平行平面間的距離。而這三種方法最終又轉化為求兩點間的距離。

例2：正四棱錐V-ABCD的底面邊長為2，高為3，E和F分別是BC和CD的中點。求：（1）AB和VC所成的角的正切與距離；

（2）點C到截面VEF的距離。

作斜高VF，AB和VC的距離轉化為AB和平面VCD的距離。作斜高VK，所以又轉化為求K點到平面VCD的距離。作KM⊥VF交VF于M，于是又轉化為求等腰△VKF一腰上的高KM（即，點K與M的距離）。那么，點C到截面VEF的距離就不難得證。

第（1）題用的是面積的等積變換，第（2）題用的是體積的等積變換。不論哪一種變換，本質上是一致的，都是知道面積或體積后，求點到線的距離，或求點到面的距離。當然，這種等積變換一般只適用于三角形和三棱錐。

3.作特征平面把空間圖形平面化。

旋轉體和多面體以及由它們組合的幾何體，常常有數量關系比較集中的特征平面．如旋轉體的軸截面，直棱柱的底面，正棱錐的直角三角形，正棱臺的直角梯形等都是特征平面。因此在解決上述圖形或由它們組合之后的圖形的問題時，經常是通過作特征平面，使空間圖形平面化，然后用平面幾何的方法去解決。但在由多面體和旋轉體所組成的幾何體中，如何作出特征平面，則要因題而異。

例3：已知球的半徑為R，求半球內接正方體的棱長。

略解：過正方體的對角面所在的平面作一截面，得平面圖形（圖3）。

4.“展平”。

“展平”是空間圖形平面化常用的方法之一，如經常把圓柱、圓錐和圓臺的側面展開而得矩形、扇形和扇環的圖形等，以解決有關的問題。有時多面體的問題也通過“展平”的方法去解決。

例4：在底面半徑為5，母線為10的圓錐中，AB為底面直徑，P為頂點。從點A繞錐面到母線PB的中點M。如圖4（a）求：（1）最短線的長；

（2）點P到這最短線的距離。

將圓錐的側面展開為圖4（b）。作PC⊥AM交AM于點C。

因為PC·AM=AP·PM，所以PC=2。

通過轉化的手段把待解決的問題轉化為已經解決或比較容易解決的問題，只是在原則上教給我們一種解決數學問題的基本思考方法，至于對每一個具體問題如何去實現這種轉化過程，仍然面臨著如何尋找正確的化歸的途徑和選擇恰當的轉化手段等技巧問題。（作者單位 陜西省橫山縣第三中學）

責任編輯 楊博

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