從函數眼中賞析數列

從函數的角度分析和研究數列，一方面使得我們對函數性質的普遍性與特殊性有了更直觀地認識，另一方面也使得我們對數列的函數特殊性有了更深刻的理解。這將極大地提高我們多角度思考分析問題的能力，使得我們的解題思路及思維方式更加靈活自如。下面從函數的常用性質，分析數列所具有的特殊性。

1.函數與數列的轉換

設函數y=f（x）的定義域為A，正整數集N+為A的子集，當我們將函數y=f（x）的定義域換成N+時，函數y=f（x）可轉換成一個相應的數列，如：y=2x+1，x∈R，定義域換為x∈N+即an=2n+1為等差數列。反過來，在保證解析式有意義的前提下，我們可將一個數列轉換成函數，如：Sn=2n2+n，x∈N+可變成y=2x2+x，x∈R為二次函數。通過數列與函數的轉換關系，可使我們從函數的角度來求解數列的相關問題。

2.抽象函數

在函數中，有些函數沒有解析式，我們稱之為抽象函數。抽象函數問題一般會給出函數值關系式，如：f（x+y）=f（x）+f（y）。在求解時，從函數值關系式中一般解不出解析式，我們只能依據函數值關系式，利用函數的相關定義及性質直接解題。對于數列，也有類似抽象函數的給出方式。在求解時，沒有通項公式，僅給出反映項與項關系的遞推關系式，如：a（m+n）=am+an，這一點和抽象函數一致，而數列特殊的地方在于，有時可從遞推關系式中解出通項公式。

盡管有時可從遞推關系式中解出通項公式，但在多數情況下，用遞推關系式很難，甚至不能夠求出an或sn來，因此不要總是試圖從遞推關系式中求出an或sn后才去解題。其實，遞推關系式作為一種給出數列的方式，在求解數列的許多問題上，如：數列的單調性、極限、或項值的計算上，用遞推關系式比用an或sn有時更有效，來得更快。

3.奇偶性 由于數列的定義域關于原點不對稱，所以數列沒有奇偶性。

4.周期性 函數的周期性表示為f（x）=f（x+T）。數列雖然沒有周期性，但卻有類似于函數周期性的特征，如：an=an+t，t∈N+

5.單調性

（1）函數單調性常用的判斷方法有兩個：

定義法即利用函數單調性的定義來判斷，證明函數的單調性。此方法為單調性證明的通法。

導數法 此方法適用于有解析式且導數易求的函數。

（2） 數列單調性 對數列的單調性，我們可從數列自身的特點上來研究，也可從函數的角度研究。

定義法 一個數列{an}，如果從第二項起，每一項都大(小)于它前面的一項，即an+1＞an（an+1＜an），那么這個數列叫做遞增（減）數列。即數列是通過任意相鄰兩項的大小關系來證明單調性的。在討論an與an+1的大小關系時，可用作差an+1-an或作商an+1÷an的辦法來判斷。

函數法 通過函數與數列的轉換分析，對于用定義法不好證明單調性的數列，可將其還原成函數，利用函數來判斷其單調性。如判斷數列an=2n2+3n+4，n∈N+的單調性，將數列還原成函數y=2x2+3x+4，x∈R利用函數性質或導數求出函數的單調區間，通過判斷N+與函數單調區間是否為子集關系，證得數列的單調性。

綜上所述，從函數的角度分析和研究數列，一方面使得我們對函數性質的普遍性與特殊性有了更直觀的認識，另一方面也使得我們對數列的函數特殊性有了更深刻的理解。在函數問題的求解中，若求解的結果具有數列特征時，數列的解題方式將是不錯的參考。在數列問題的求解中，我們突現數列自身解題特點的同時，函數一般性解題方式也值得借鑒。