中小學(xué)代數(shù)教學(xué)銜接中兩大難點(diǎn)的教學(xué)措施

一、由自然數(shù)的范圍拓展到有理數(shù)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)的教學(xué)措施

中學(xué)引入了“負(fù)數(shù)”的概念，于是，初中所學(xué)的數(shù)，就由小學(xué)所學(xué)的正數(shù)和零擴(kuò)大到包含正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的有理數(shù)范圍．要使學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生質(zhì)的變化，可以采取以下兩條教學(xué)措施去處理．

1. 結(jié)合數(shù)軸幫助學(xué)生建立起“抽象描點(diǎn)”的知識(shí)結(jié)構(gòu)，解決數(shù)的大小比較的問(wèn)題.

數(shù)域擴(kuò)大之后，增加了數(shù)的大小比較的復(fù)雜性，從原來(lái)只需要單純考慮數(shù)的絕對(duì)值擴(kuò)充到必須既考慮絕對(duì)值又考慮正負(fù)號(hào)．例如，原來(lái)比較5和6的大小，只需按照數(shù)的排序，規(guī)定排在后面的數(shù)比排在前面的數(shù)大即可．比較的標(biāo)準(zhǔn)單一，容易把握．但是如果要比較有理數(shù)的大小，就涉及到需要整體考慮符號(hào)和絕對(duì)值的問(wèn)題．例如對(duì)±5、±6的大小比較的問(wèn)題，就要考慮四種情況：+5與+6比較大小，－5與+6比較大小，－5與+6比較大小，－5與+6比較大小．

在中學(xué)解決大小比較的有效辦法是借助于數(shù)軸，把有理數(shù)先用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，但這只是在理論上行得通，在實(shí)際的處理中做不到．例如像比較－2和－589的大小，如果非要在數(shù)軸上具體準(zhǔn)確描出－589所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，將受到紙張長(zhǎng)度的限制而難以做到．然而，如果急于把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為要求學(xué)生記憶和運(yùn)用以下法則：“1. 正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)；2. 絕對(duì)值較大的正數(shù)大于絕對(duì)值較小的正數(shù)；3. 絕對(duì)值較大的負(fù)數(shù)小于絕對(duì)值較小的負(fù)數(shù).”則往往加重了記憶負(fù)擔(dān)卻效果不佳．

比較可行的措施是：借助數(shù)軸建立起“抽象描點(diǎn)”的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這里所謂的“抽象描點(diǎn)”，指的是對(duì)于需要比較大小的兩個(gè)有理數(shù)，在數(shù)軸上描出其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)時(shí)，不考慮數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度，只需要考慮兩個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的左右位置即可．例如，對(duì)于－2和－589所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，學(xué)生只需要判斷在數(shù)軸上，哪一個(gè)應(yīng)該描在哪一個(gè)的左邊．因此，必須要求學(xué)生能夠熟練判斷兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的左右相對(duì)位置．

2. 先不急于講授加減運(yùn)算的法則，而是讓學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)，先學(xué)會(huì)用“正負(fù)抵消”的觀念處理代數(shù)和的運(yùn)算.

數(shù)域擴(kuò)大之后，增加了數(shù)的加減運(yùn)算的復(fù)雜性．在小學(xué)，參與運(yùn)算的數(shù)只有正數(shù)或0，它們沒(méi)有所謂的“性質(zhì)符號(hào)”，運(yùn)算時(shí)只需考慮連結(jié)它們之間的“運(yùn)算符號(hào)”．學(xué)習(xí)了有理數(shù)之后，參與運(yùn)算的數(shù)具有性質(zhì)符號(hào)，運(yùn)算時(shí)既要考慮性質(zhì)符號(hào)，又要考慮運(yùn)算符號(hào)．

例如（－3）－（+5）、（－8）+（+5）等，如果在一開(kāi)始就要求學(xué)生同時(shí)處理這兩種符號(hào)，則學(xué)生普遍感到困難．

比較有效地處理難點(diǎn)的辦法是，不拘泥于用加法運(yùn)算法則指導(dǎo)運(yùn)算，先借助學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，在一開(kāi)始就指導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)和解決加減運(yùn)算．

例如可以在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的意義之后就學(xué)習(xí)以下內(nèi)容：

[案例一]用+3－4=－1表示贏了3個(gè)球，又輸了4個(gè)球，最終輸1個(gè)球；

用－3－4=－7表示輸了3個(gè)球，又輸了4個(gè)球，最終輸7個(gè)球；

用－3+4=+1表示輸了3個(gè)球，又贏了4個(gè)球，最終贏1個(gè)球.

模仿以上做法進(jìn)行以下運(yùn)算：

+3－9= －3+6= +3－2=

+6－4= －8－5= －3+7=

……

在學(xué)生熟練掌握了代數(shù)和運(yùn)算之后，才解決去括號(hào)化為代數(shù)和運(yùn)算．這樣做往往能減輕學(xué)生的心理壓力和學(xué)習(xí)難點(diǎn)，事半功倍．

二、由具體的數(shù)擴(kuò)充為抽象的“字母表示數(shù)”的學(xué)習(xí)難點(diǎn)的教學(xué)措施

學(xué)生在小學(xué)階段，對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)基本停留在用具體的數(shù)字表示數(shù)的層面，升上中學(xué)后則要解決用字母表示一般的數(shù)的問(wèn)題．一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)式就表示了無(wú)數(shù)個(gè)具體的數(shù)、或者變量、或者變量之間的關(guān)系（函數(shù)）等．由常量數(shù)學(xué)走入變量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，必須讓學(xué)生經(jīng)歷質(zhì)的飛躍．

1. 讓學(xué)生感受到用“字母表示數(shù)”在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性.

例如在學(xué)習(xí)“字母表示數(shù)”的起始課中，可以展開(kāi)以下內(nèi)容的學(xué)習(xí)．

[案例二]問(wèn)題：證明兩個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)．

對(duì)于具體的兩個(gè)偶數(shù)，它們的和是偶數(shù)，例如4+8=12．

但是怎樣證明對(duì)于任意偶數(shù)，都有這樣的結(jié)論呢？用字母表示數(shù)可以輕易解決這個(gè)問(wèn)題．

因?yàn)榭梢员?整除的數(shù)叫做偶數(shù)，所以，任意的偶數(shù)都能夠?qū)懗?n（n是整數(shù)）的形式．設(shè)任意的兩個(gè)偶數(shù)分別記為2n和 2m（n、m都是整數(shù)），則2n+ 2m=2（n+m），由于n、m都是整數(shù)，所以n+m也是整數(shù)，不妨設(shè)這個(gè)整數(shù)記為k，則2n+ 2m=2k （k為整數(shù)）．所以2k是偶數(shù)．

2. 充分展示數(shù)學(xué)公式（或運(yùn)算法則）的“形式不變性”與公式（或運(yùn)算法則）中的字母表示數(shù)的任意性的特征.

學(xué)生對(duì)于用“字母表示數(shù)”往往不能深刻理解其內(nèi)涵，例如對(duì)于公a2-b2=（a+b）（a-b），學(xué)生往往在潛意識(shí)中認(rèn)為a和b都是正數(shù)或單個(gè)的字母．

為了幫助學(xué)生理解公式的形式不變性與公式中的字母表示數(shù)的任意性，必須指導(dǎo)學(xué)生完成類似以下的題目.

[案例三] （1）以下□表示同一個(gè)數(shù)，○也表示同一個(gè)數(shù)，在以下的□或○中填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得等式成立．

□2－32=（□+3）（2－3），□2－32=（－2－○）（－2+3），32－□2=（3+□）·（○－□），（－3）2－○2=（□+○）（□－○），（－3）2－○2=（○+□）（□－○）.

（2）填表：在表中的a、b取不同的值時(shí)（例如取a=－xy，b= c2），分別計(jì)算a2、b2、a2－b2和（a+b）（a-b）的值.

3. 通過(guò)對(duì)代數(shù)式的大小比較強(qiáng)化對(duì)“字母表示數(shù)”內(nèi)涵的理解.

[案例四] ①討論：a一定比－a大嗎？證明你的結(jié)論，并且用具體的數(shù)去驗(yàn)證結(jié)論；②討論：a+b一定比a－b大嗎？證明你的結(jié)論，并且用具體的數(shù)去驗(yàn)證結(jié)論．

解：①因?yàn)閍－（－a）=2a，所以，當(dāng)a>0，a>－a，例如當(dāng)a=5，5>－5；當(dāng)a=0，a=－a；當(dāng)a<0，a<－a，例如當(dāng)a=－5，－5<－（－5），即－5<+5．

② 因?yàn)閍+b－（a－b）=2b，所以，當(dāng)b>0，a+b>a－b（例如當(dāng)b=5，則無(wú)論a取什么值，都有a+5>a－5）；當(dāng)b=0，a+b=a－b；當(dāng)b<0，a+b

責(zé)任編輯羅峰