悟自思中來

數學是“教會年輕人思考”的學科，針對代數推理型問題，我們不但要尋求它的解法是什么，還要思考有沒有其它的解法，更要反思為什么要這樣解，不這樣解行嗎?我們通過典型的問題，解析代數推理題的解題思路、方法和技巧，在解題思維的過程中，既重視通性通法的演練，又注意特殊技巧的作用．

1. 數形結合顯神功

例：已知兩不等的實數m，n滿足m2sin?茲-mcos?茲=1，n2sin?茲-ncos?茲=1則過點（m2，m）和（n2，n）的直線與單位圓的位置關系為（）

A. 相切B. 相離

C. 相交 D. 不確定

思維啟迪: 本題給出的是兩個方程，所研究的是直線與圓的位置關系，需要兩點確定的直線方程，但不要直接由兩點式寫方程，通過觀察就可以把已知的方程轉化為所求直線的方程，從而判斷直線與圓的位置關系

講解:因為實數m，n滿足m2sin?茲-mcos?茲=1，n2sin?茲-ncos?茲=1，所以點(m2，m)和(n2，n)的坐標都適合直線xsin?茲-ycos?茲=1，即兩點確定的直線方程為xsin?茲-ycos?茲=1，原點到此直線的距離為d=1，所以直線與圓相切.故選A.

思悟： 數形結合未必一定要畫出圖形，但圖形早已在你的心中了，這也許是解題能力的提升，還請三思而后行. 本題通過解幾模型進行推理解題，當中滲透著數形結合的數學思想方法，顯示了解題思維轉換的靈活性和流暢性.精心聯想“數”與“形”，使一些較難解決的代數問題幾何化，幾何問題代數化，以便于問題求解. 很多數學概念都具有明顯的幾何意義，善于利用這些幾何意義，往往能收到事半功倍的效果.

2. 構建關系顯威力

例: 已知函數f（x）=-3x2-3x+4b2

+(b＞0)在區間[－b，1－b]上的最大值為25，求b的值.

思維啟迪: 由已知二次函數配方，得 f（x）=-3（x+）2 +4b2+3.針對拋物線頂點橫坐標在不在區間[－b，1－b]，自然引出解題形態的三種情況分類討論.

講解: 由已知二次函數配方，得f（x）=-3（x+）2 +4b2+3.

（1）當-b≤-≤1-b，即≤b≤時，f(x)的最大值為4b2+3=25.

∴b2=與≤b≤矛盾.

（2）當-＜-b，即0＜b＜時，f(x)在[－b，1－b]上遞減，

∴f（-b）=（b+）2＜25.

（3）當-＞1-b，即b＞時， f（x）在[－b，1－b]上遞增，

∴ f（1－b）=b2+96-=25，解得b=.

思悟：關于二次函數問題是歷年高考的熱門話題，值得教師在復習課時重點強化訓練. 針對拋物線頂點橫坐標在不在區間[－b，1－b]，自然引出解題形態的三種情況，這顯示了分類討論的數學思想在解題當中的充分運用. 該分就分，該合就合，這種辯證的統一完全依具體的數學問題而定，需要在解題時靈活把握.

3. 等價轉化與化歸顯奇效

例：若f（x）是定義在R上的函數，對任意實數x都 有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=1，則

f（2010）=.

思維啟迪: 通過兩個不等關系，轉化為f（x+1）= f （x）+1這個等量關系.

講解： ∵f（x+1）≤f（x+3）-2≤f（x）+3-2=f（x）+1，

f（x+1）≥f（x+4）-3≥f（x+2）+2-3≥f（x）+4-3=f（x）+1，

∴ f（x）+1≤f（x+1）≤f（x）+1.

∴ f（x+1）=f（x）+1.

∴數列{f（n）}為等差數列.

∴ f（2010）=f（1）+2009×1=2010.

思悟： 恰當運用題設，由函數的性質推得f（x）+1≤f（x+1）≤f（x）+1，即f（x+1）=f（x）+1，從而實現了由“不等”向“等”的轉化.在不等式中存在著相等的可能；反之，相等關系也必然是不等關系的臨界情況.這也正是我們利用不等條件求值和利用相等條件求范圍的出發點．在尋找解題途徑的過程中，要進行積極的聯想和轉化，使題目中所給的信息與我們所掌握的數學信息發生聯系，激活思維，不斷增強洞察力，把生疏化為熟悉，從而化繁為簡、化難為易．

責任編輯羅 峰

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