數(shù)學(xué)教學(xué)中的錯(cuò)覺現(xiàn)象剖析

一、關(guān)于數(shù)學(xué)錯(cuò)覺現(xiàn)象

數(shù)學(xué)錯(cuò)覺就是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)較抽象的概念、定理、法則等不易接受，抓不住其內(nèi)在本質(zhì)，而被一些表象所迷惑，產(chǎn)生了錯(cuò)誤感知的現(xiàn)象．如圖１，線段a=b，但實(shí)際看起來圖中的a＜b．這就是數(shù)學(xué)錯(cuò)覺的實(shí)例．

錯(cuò)覺的產(chǎn)生有很多方面的原因，但歸納起來主要有兩方面：主觀原因和客觀原因．客觀上主要有知覺條件的變化、周圍環(huán)境對(duì)知覺對(duì)象的影響；主觀上與個(gè)人的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、情緒、態(tài)度等因素有關(guān)．

筆者通過教學(xué)實(shí)踐，覺得有必要對(duì)此進(jìn)行研究，以糾正學(xué)生學(xué)習(xí)過程的失誤．

二、數(shù)學(xué)錯(cuò)覺現(xiàn)象的類型

1． 同化錯(cuò)覺. 即學(xué)習(xí)者在把新知識(shí)納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)并使之分化、擴(kuò)充，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、尤其是頭腦中的原有知識(shí)對(duì)新知識(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤作用，從而造成學(xué)習(xí)者在解決問題時(shí)容易造成的一種錯(cuò)誤傾向．這種錯(cuò)誤傾向往往在由單個(gè)知識(shí)體系向完整的知識(shí)體系過渡時(shí)出現(xiàn)．

筆者曾組織初一年級(jí)50名學(xué)生測(cè)試一道數(shù)學(xué)題：個(gè)位數(shù)字為X，十位數(shù)字為Y，這個(gè)兩位數(shù)表示為（）：

（A）YX（B）10Y+X

（C）10X+Y （D）10（X+Y）

結(jié)果有43%的學(xué)生選擇（A）．可見學(xué)生在由常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變過程中遇到了障礙．究其原因，是因?yàn)閷W(xué)生以前是用具體的兩個(gè)數(shù)字來表示兩位數(shù)（如35），而這種書寫形式掩蓋了兩位數(shù)的本質(zhì)特征，從而對(duì)現(xiàn)在用字母表示兩位數(shù)的書寫形式產(chǎn)生了同化錯(cuò)覺．

又如，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的乘方、開方運(yùn)算時(shí)，對(duì)于解形如（x+1）6=（1+i）（x∈C，i是虛數(shù)單位)的方程，很多學(xué)生往往只得到一解x=i． 而事實(shí)上，上述解是錯(cuò)誤的．那么，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤呢？仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生實(shí)際上受實(shí)數(shù)指數(shù)運(yùn)算法則的影響，對(duì)于z∈R+時(shí)，（zn）=z這個(gè)結(jié)論經(jīng)常會(huì)不加思索地用到復(fù)數(shù)范圍，從而導(dǎo)致了以上的錯(cuò)解．也就是說，原來的實(shí)數(shù)指數(shù)運(yùn)算法則對(duì)復(fù)數(shù)運(yùn)算產(chǎn)生了同化錯(cuò)覺的影響．所以，在進(jìn)行復(fù)數(shù)開方教學(xué)時(shí)，就應(yīng)著重加強(qiáng)復(fù)數(shù)范圍與實(shí)數(shù)范圍的開方運(yùn)算的比較．

2． 定勢(shì)錯(cuò)覺. 定勢(shì)是指心理活動(dòng)的一種準(zhǔn)備狀態(tài)，它影響并決定同類后續(xù)活動(dòng)的趨勢(shì)．定勢(shì)錯(cuò)覺是指學(xué)習(xí)者受大腦中原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、解題方法、技能習(xí)慣等的“慣性作用”的影響，容易依照既定的方向、模式或方法去思考，從而對(duì)思維活動(dòng)造成的一種誤導(dǎo)．這種現(xiàn)象在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中出現(xiàn)的頻率最高．

其中最明顯的一個(gè)例子如解答題：求實(shí)數(shù)m，使方程x2+（m+2i）x+2+mi=0（其中i是虛數(shù)單位）有實(shí)根．

不少學(xué)生解此題時(shí)，常常這樣做：

解：原方程有實(shí)根，所以判別式△=（m+2i）２－4（2+mi）≥0，即m2－12≥0.

解得m≥2或m≤－2.

所以m≥2或m≤－2時(shí)，方程x2+（m+2i）x+2+mi=0有實(shí)根．

以上解答看似很正確、完整，而實(shí)際上是錯(cuò)誤的．因?yàn)楫?dāng)m取4時(shí)（4＞2），方程的兩個(gè)根1－i和1+i均為虛數(shù)．

那么，產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是什么呢？學(xué)生是受到實(shí)系數(shù)方程根的判別方法的定勢(shì)錯(cuò)覺的影響，把只能用于實(shí)系數(shù)方程的根的判別式，機(jī)械地搬用于復(fù)系數(shù)方程．這也正是思維定勢(shì)負(fù)遷移作用的結(jié)果．

又如選擇題：不等式x2>9的解集為（ ）．

（A）x＞±3

（B）x＞3

（C）x＜－3或x＞3

（D）－3＜x＜3

很多學(xué)生容易選擇（A），為何會(huì)造成這樣的錯(cuò)選呢？這正是由于學(xué)生受解方程x2=9所形成的技能習(xí)慣定勢(shì)造成的．這種習(xí)慣性差錯(cuò)，在解題過程中，會(huì)不知不覺地被定勢(shì)錯(cuò)覺引向錯(cuò)誤的結(jié)論．

3． 泛化錯(cuò)覺. 根據(jù)巴甫洛夫的條件反射理論，學(xué)習(xí)就是學(xué)會(huì)對(duì)刺激作出反應(yīng)，即條件反射．所謂條件反射，就是某種刺激與反應(yīng)之間聯(lián)系的形成．然而就是這種條件反射，有時(shí)也會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)起負(fù)面作用．在巴甫洛夫所提倡的學(xué)習(xí)規(guī)律中，有一條是泛化律：即某一種條件反射一旦確立，就可以由類似于原來?xiàng)l件刺激的刺激引發(fā)．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，由于對(duì)概念、命題等缺乏實(shí)質(zhì)性理解，如果遇到與大腦中原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中類似的問題，就會(huì)自然地引發(fā)大腦產(chǎn)生一種傾向：用現(xiàn)有的模式去解決它，從而容易導(dǎo)致錯(cuò)誤，這樣一種現(xiàn)象叫做泛化錯(cuò)覺，它的特點(diǎn)就是把原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)的適用范圍擴(kuò)大化了．

例如，在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，常常會(huì)出現(xiàn)一些學(xué)生“編造”出來的公式，教師應(yīng)予以特別注意，其中最常見的有：

lg（M+N）= lgM+lgN ……（1）

lg（M－N）=lgM－lgN……（2）

=lg（M－N） ……（3）

lg（5M）=5lgM ……（4）

類似的還有：

sin（?琢-?茁）=sin?琢-sin?茁 ……（5）

a÷（b+c）=a÷b+a÷c ……（6）

（a-b）２=a2-b2……（7）

出現(xiàn)（1）~（6）錯(cuò)誤的一個(gè)重要原因就是學(xué)生把符號(hào)“l(fā)g”、“sin”看成一個(gè)數(shù)，根據(jù)平日的運(yùn)算法則，作乘法分配律、交換律等，甚至認(rèn)為分配律也適用于除法，從而犯了上述性質(zhì)的錯(cuò)誤．而（7）式的錯(cuò)誤則是因?yàn)閷W(xué)生把先前學(xué)習(xí)的公式（ab）n=anbn的適用范圍擴(kuò)大了．

4． 視覺錯(cuò)覺. 由于刺激于視覺器官的刺激物中各個(gè)成份的相互影響，或是主體某種生理和心理的原因，往往造成視覺失誤，通常稱為視覺錯(cuò)覺．這是視覺的負(fù)效應(yīng)的表現(xiàn)．這種錯(cuò)覺主要是由于對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)不徹底、不深刻而引起的．在幾何學(xué)習(xí)中，這樣的例子最為多見．

如：已知二面角α－MN－β， ∠BAC=∠ACD．有些學(xué)生根據(jù)圖形的觀察，就想當(dāng)然地認(rèn)為AB∥CD，而實(shí)際上二者異S=h（2r）=×2×（2×2）=4（cm2）．

錯(cuò)因就是由視覺判斷失誤引起的．很多學(xué)生就憑視覺觀察想當(dāng)然認(rèn)為“軸截面是面積最大的截面”．事實(shí)上，由圖3易得軸截面頂角為１２０°，設(shè)PCD為過頂點(diǎn)P的任一截面，∠DPC=?茲，則SPCD=（２）２＋２２#8226;sin?茲，當(dāng)?茲=90°時(shí)，最大截面積S=×16=8（cm2）．

一般地，當(dāng)軸截面頂角不大于90°時(shí)，軸截面為面積最大的截面，而當(dāng)軸截面頂角大于90°時(shí)，以頂角90°為的截面才是面積最大的截面．

三、消除數(shù)學(xué)錯(cuò)覺現(xiàn)象的策略

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，針對(duì)上述造成的各種錯(cuò)覺現(xiàn)象，教師在教學(xué)中，應(yīng)研究有效的教學(xué)策略，采取預(yù)防性措施，使學(xué)生突破思維定勢(shì)，排除影響感知與思維的干擾．

1． 闡明知識(shí)形成過程，呈現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)含義，揭示各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系與區(qū)別

教學(xué)實(shí)踐表明：闡明知識(shí)形成、探索的過程，用數(shù)學(xué)思想方法揭示各概念、命題的本質(zhì)含義，對(duì)于學(xué)生理解課本內(nèi)容是大有幫助的．眾所周知，課本中的概念、定理、法則等的差異并未明顯地?cái)⑹龀鰜恚际请[含在知識(shí)深處的，這就需要教師去研究、挖掘，讓學(xué)生真正明確、理解概念、公式、定理的實(shí)質(zhì)以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，防止死套公式，張冠李戴的各種錯(cuò)覺產(chǎn)生．

2． 對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的訓(xùn)練進(jìn)行正誤比較教學(xué)

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握都是從不完善逐步走向完善，從零碎走向完整的，思維隨之也從單一走向多元．在這個(gè)過程中，學(xué)生難免會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)覺，那么教師就應(yīng)緊緊地抓住這一點(diǎn)，進(jìn)行正誤比較，讓學(xué)生自己找出錯(cuò)在哪里，為什么錯(cuò)，以后應(yīng)怎樣避免．這樣一來，學(xué)生就會(huì)吃一塹長(zhǎng)一智．

3． 通過正反辨析教學(xué)法揭示問題實(shí)質(zhì)，增強(qiáng)對(duì)課本知識(shí)理解的準(zhǔn)確性和深刻性

課本中的概念、法則無論多么簡(jiǎn)短、明了，它們都刻劃出了事物的本質(zhì)屬性，而學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)往往容易停留在對(duì)這些概念、法則表面意義上的理解，而沒有挖掘其內(nèi)在的本質(zhì)，勢(shì)必會(huì)產(chǎn)生各種錯(cuò)覺．因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師就要善于把握這一點(diǎn)，對(duì)基本概念、原理、方法等從正反兩方面加以比較辨析，找到容易混淆、模糊的地方，予以強(qiáng)調(diào)突出，特別是要注意運(yùn)用反例和特例進(jìn)行比較教學(xué)．因?yàn)榉蠢吞乩哂絮r明的直觀特征，容易引起學(xué)生的注意，也易為學(xué)生所接受，是消除錯(cuò)覺的有效方法之一．

4． 通過多媒體輔助教學(xué)的手段，促使學(xué)生更好地理解知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵

在課堂教學(xué)中，適當(dāng)?shù)厥褂枚嗝襟w進(jìn)行教學(xué)是非常必要的，因?yàn)槎嗝襟w教學(xué)把視覺、聽覺等融匯起來，更能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和參與性，尤其是在學(xué)習(xí)困難生比較多的班級(jí)中更適用．其次，利用多媒體的動(dòng)畫功能，顯示平時(shí)在黑板上描寫不出來的知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，讓學(xué)生真正理解知識(shí)的本質(zhì)、內(nèi)涵及其演變過程，更有利于學(xué)生本身對(duì)知識(shí)的建構(gòu)、內(nèi)化和運(yùn)用．

責(zé)任編輯羅峰