創(chuàng)設(shè)系列問題 優(yōu)化思維品質(zhì)

在習(xí)題教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)多種系列問題，引導(dǎo)學(xué)生由低到高、由淺入深、由窄向廣進(jìn)行多角度、多層次思考，提煉解題思想方法，能真正提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.

一、創(chuàng)設(shè)拓展點系列問題，擴(kuò)展思維廣度

例1已知橢圓C：+=1（a>b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2為左右兩個焦點，A1 ，A2為左右頂點，P為橢圓上任一點． 若F1 PF2=?茲，求橢圓離心率e的取值范圍？

這是在圓錐曲線一章教學(xué)中的一個典型習(xí)題，若對條件進(jìn)行多角度、多層次的變化，就能使其呈現(xiàn)新的情境，因此可以設(shè)計如下的拓展點系列問題：

問題1：若B為上頂點，A1B⊥BF2 ，如何求e？

問題2：已知P為橢圓上異于A1 ，A2的任一點， F1 PF2=?茲，△PF1 F2的面積怎樣求？為多少？

問題3：以過左焦點F1的焦點弦PQ為直徑的圓與左準(zhǔn)線的位置關(guān)系如何？

問題4：若P為異于A1 ，A2的點，直線A1P與直線A2P分別交右準(zhǔn)線于M、N兩點，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過右焦點F2 ？

系列新情境問題的生成，逐步把學(xué)生的思維引向新的角度.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自主探究疑難問題，充分發(fā)揮主觀能動性，從而進(jìn)一步提升了思維的靈活性和變通性，真正改善了思維品質(zhì).

二、創(chuàng)設(shè)關(guān)鍵點系列問題，挖掘思維深度

例2如圖，給出定點A（a，0）（a>0）和直線l:x=-1.B是直線l上的動點，BOA的角平分線交AB于點C.求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.

這是綜合性強、對能力要求高的難題.我們需要對學(xué)生的思維水平有一個充分的認(rèn)識，給學(xué)生一個認(rèn)知的 “臺階”，對題目的題眼、突破口、隱含條件等關(guān)鍵點進(jìn)行如下的設(shè)問：

問題1：點C隨著B點的運動而運動，所以點C可看作是兩動直線AB與OC的交點，故該題是求軌跡問題中的哪種類型？有何方法？

問題2：點C既在BOA的角平分線上，又在直線AB上，由此引發(fā)的條件較多，因此解法也會較多，那么如何選擇較為簡單的方法呢？

問題3 ：為了使直線OC的方程極易寫出，B點的坐標(biāo)也容易表示出來，那么應(yīng)該如何選用參數(shù)較為簡便？（設(shè)BOA=?茲為參數(shù)）

上述系列問題在學(xué)生思維迷茫、思路中斷之際，不失時機(jī)地“鋪路搭橋”，幫助學(xué)生排除思維障礙，引導(dǎo)學(xué)生去主動思考，從而真正解放了學(xué)生的思維禁錮，使學(xué)生的思維得到真實有效地發(fā)展.

三、創(chuàng)設(shè)探究點系列問題，提升思維高度

例3已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的離心率為，右準(zhǔn)線方程為 x=.（１）求雙曲線C的方程；(2)設(shè)直線l是⊙O：x2+y=2上動點P（x0，y0）（x0y0≠0）處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點A ， B ， 證明:∠AOB的大小為定值.

容易求得雙曲線C的方程為x2-=1. 下面重點分析第（2）問.

學(xué)生遇到此題時，往往會根據(jù)已有的解題套路，先利用特殊位置找到定值，再進(jìn)行計算與證明（實際上很快發(fā)現(xiàn)有條件x0y0≠0，于是特殊化結(jié)論不合題意）.為了更好地克服“套路”解題思維，培養(yǎng)學(xué)生的探究思維，使習(xí)題成為科學(xué)探究的載體，可設(shè)計如下的探究點系列問題：

問題1：已知⊙O：x2+y2=b2上任一動點P（x0，y0），直線l過點P且與⊙O相切于點P，又直線l與雙曲線C：-=1（a>0，b>0）相交于不同的兩點A，B，試問∠AOB是否始終為直角？

問題2：試問R為何值時，∠AOB始終為直角？

問題3：試問R為何值時，∠AOB始終為定值？

以上系列問題以問題解決的思維過程為主線，通過學(xué)生主動探索、主動思考、親身體驗而獲得了問題解決的思路，從而激發(fā)了學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，培養(yǎng)了學(xué)生思維的預(yù)見性、嚴(yán)密性和創(chuàng)造性，使學(xué)生的思維發(fā)展到一個新的高度.

責(zé)任編輯 羅 峰

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文