天平平衡原理解簡易方程的教學實驗及分析

《簡易方程》安排在小學數學五年級上冊，在這之前，學生已經熟練掌握了四則運算的意義、運算順序和運算定律，并且已經養成了用算術法解決問題的思維定式．然而，在新課程標準實驗教材中，解方程不再采用算術法，而是通過天平保持平衡的原理，來尋求對方程的解法，即方程兩邊同時加上（或減去）相同的已知數以及同時乘以（或除以）相同的已知非零數，左右兩邊仍然相等．與以前算術方法相比，這是思維上的一次突破，有利于與中學解方程的思路相接軌．

為了檢驗學生對這種思維大轉折的適應能力，我在教學中設計了一系列對比實驗，并且針對新課標實驗教材中被刪去的a-x=b和a÷x=b兩種類型方程，做了一些基于天平平衡法的教學嘗試．

一、實驗設計

1. 實驗內容

新課程標準實驗教材五年級上冊《簡易方程》的教學．包括新課標實驗教材中有4種形式的方程：a+x=b、x-a=b、ax=b和x÷a=b，另外還補充了以前人教版教材中的兩種形式：a-x=b和a÷x=b．

2. 實驗對象

廣州市華陽小學五年級1-6班，共267名學生．任課教師3名，2個自然班為一組，共分為3個組，每組由1位教師組織教學．

3. 教學方法

第一組只學習算術法解方程，第二組只學習天平平衡原理法解方程，第三組同時學習算術法和天平平衡原理法．

4. 測試方法

采用試卷測試法．

本實驗測試卷共設6道題，分別代表了6種不同的形式．我們把新課標教材中的4種形式稱為A型題，而把補充的兩種形式：a-x=b和a÷x=b稱為B型題．測試卷中的A型和B型均為一步計算的簡易方程，旨在考察學生對簡易方程基本解法的掌握程度．測試題如下：

(1)18＋x=46(2)x－6.7＝1.6

(3)52－x＝15(4)x÷3＝1.5

(5)40÷x＝50(6)1.4x＝7

用SPSS statistics統計分析軟件對測試成績進行相關性分析．

二、實驗結果及分析

1. 學生對兩種方法的偏好性

圖1學生對解方程方法選擇的偏好性

題型A：a+x=b、x-a=b、ax=b和x÷a=b；題型B：a-x=b和a÷x=b.

為了檢驗學生對天平原理法的接受意愿程度，我們引導一個組的學生同時學習了算術法和天平平衡法，讓他們在解方程時自主選擇．評卷時根據答題過程判斷學生采用的方法．統計結果表明，大多數學生選擇了他們所熟悉的算術法，占了67.0%（圖1）．對于小學生而言，四則運算的相關知識早已牢固掌握，然而天平原理卻是一個全新的知識架構，基于思維定式的原因，大多數學生選擇算術法來解方程是可以理解的．

在未受到外界傾向性壓力的影響，有33%的學生自主選擇了天平原理的方法，這個比例其實已經不小了．這一方面體現了這些學生對這種新思維方法更為感興趣，另一方面也表明了他們對駕馭這種方法的自信程度．

對于A型題和B型題，學生對算術法和天平原理法的偏好程度有著明顯的差異．實驗結果表明，選擇天平原理解A型題的有38.7%，而對于B型題，這個比例下降到了22.6%．B型題的難度明顯大于A型題，也許這就是影響學生選擇的主要因素．也就是說，在遇到難度大的問題時，學生會很自然地選擇他們所熟悉的有把握的方案來應對．

2. 兩種方法對解A類型方程的效果比較

新課標五年級上學期教材中，簡易方程有a+x=b、a-x=b、x-a=b和ax=b等4種形式．在教學過程中試圖通過天平平衡原理，來滲透“等式的基本性質”，但卻并沒有明確“等式的基本性質”的概念和內容．為了檢驗這種新的教學方法的效果，我們設置了一組對比教學實驗，即一個組學習算術法解方程，另一個組學習天平原理法解方程．A型題測試結果表明，兩組學生都能很好地掌握并應用各自所學的方法，得分率分別是97.67%和95.97%（圖2），學習算術法的那一組稍高，但統計結果顯示二者并無顯著性差異．

這組實驗結果表明，通過天平平衡原理來對小學五年級的學生滲透“等式的基本性質”是可行的，學生完全可以適應這種思維方式的轉變．

圖2兩種方法解簡易方程的效果比較

A：a+x=b、a-x=b、x-a=b和ax=b等4種形式；B：a÷x=b和x÷a=b 2種形式.

3. 天平原理法對B型題的教學嘗試

B型題指的是a-x=b和a÷x=b兩種形式的方程．在小學階段，以前一直采用算術法來解簡易方程，因此這兩種形式的方程并不顯得很特別，但是現在新課標要求用天平原理法來解方程，由于學生缺乏一些相關知識（比如有關負數知識），因此在引導學生學習上會有一些障礙，為了克服這些障礙，我們在教學上做了一些新的嘗試．

我們采用的方法是：（1）引入增減未知數的概念，對于a-x=b，可以在方程的兩邊同時加上一個未知數x，得到a=b+x，左右兩邊調換位置轉化為x+b=a，此時就把a-x=b轉化成了a+x=b的形式；(2)引入乘以（或除以）未知數的概念，對于a÷x=b，天平兩邊同時乘以一個未知數x，得到a=b×x，左右兩邊調換位置得：bx=a，即轉化成了ax=b的形式．

試卷測試結果表明，對于B型題，學習算術法組的得分率要高于天平原理組，分別是89.53%和79.96%，統計分析顯示在0.05水平二者存在顯著性差異．因此，對于B型題，算術法顯示出了一定的優勢．

實際上，即使是學習算術法的那一組，B型題的得分率也明顯低于A型題，分數分別是97.67%和89.53%，在0.05水平也有顯著性差異（圖2）．因此，這可能不再是單純的方法問題了，我們還應該從題型的難度方面加以分析．

首先，對于加、減、乘、除四則運算，學生對加法和乘法意義的理解，及計算方法的掌握一般都優于減法與除法，在a+x=b、a-x=b、x-a=b、ax=b、x÷a=b、a÷x=b六種形式的方程中，a+x=b屬于加法，ax=b屬于乘法，無論用哪種方法來解，學生都感覺非常容易．減法的意義是：已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算，即減法是加法的“逆”運算；除法的意義是：已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算，即除法是乘法的“逆”運算．由減法和除法的意義可知，學生用算術法來解x-a=b，x÷a=b，正好體現了“逆”運算的本質，所以學生解這兩種類型的方程也覺得很好理解．而對于a-x=b、a÷x=b，要運用“減數=被減數-差”和“除數=被除數÷商”兩個關系式，學生對這兩個關系式的理解程度一般不及對“被減數=差+減數”“被除數=商×除數”的理解程度．因此，相比之下，以上六種類型的方程中，a-x=b與a÷x=b難度較大．

在用天平原理解以上六種形式的方程時，其中a+x=b、ax=b、x-a=b、x÷a=b是在等式的兩邊同時加上（或減去）、乘上（或除以）一個相同的已知數，馬上就可以求出x，而對于a-x=b和a÷x=b，無法做到通過加上（或減去）、乘上（或除以）一個相同的已知數來解決問題．本實驗中我們嘗試在天平平衡原理中引入未知數增減或乘除，有一部分學生在理解上有一定的難度，也是情理中的事情．但是，70%以上得分率的測試結果表明，這種嘗試還是取的了一定的效果．

三、結論

對于小學五年級的學生，通過天平平衡原理滲透等式的一些基本性質是可行的，學生完全能適應這種由四則運算關系式子到等式基本性質的思維方式的轉變.

用天平原理法的學生在解難度較大的方程時得分率低于用算術法的學生，這可能是由于學生對新思維方法駕馭的熟練程度所致.

對于a-x=b和a÷x=b，可以在天平原理中引入未知數的增減、乘除來解決，對此，大多數學生是可以接受的．

責任編輯羅峰