談數(shù)學(xué)思維教學(xué)

一 如何形成數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維形成過程是數(shù)學(xué)概念形成、數(shù)學(xué)推理和問題解決的過程，有效的數(shù)學(xué)思維需要學(xué)生對數(shù)學(xué)知識精確地理解，并且對知識進行深入的思考，明晰自己在數(shù)學(xué)思維過程中可能出現(xiàn)的錯誤。思維包括信息在頭腦中的表征和加工，數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)信息在頭腦中的數(shù)學(xué)表征和數(shù)學(xué)加工，最后得出數(shù)學(xué)結(jié)論。數(shù)學(xué)思維的形成包括概念、推理在頭腦中的組織和歸類，數(shù)學(xué)思維技巧就是把這些組織歸類的東西表達出來，并且結(jié)合實際解決實際數(shù)學(xué)問題。

二 如何形成數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是將數(shù)學(xué)事物或觀念在人腦中加以類化、抽象、概括和總結(jié)而形成的結(jié)果。數(shù)學(xué)概念具備兩個特征：概念的定義性特征和概念的特異性特征。

1 概念的定義性特征

定義性特征是概念的必要且充分的特征，例如任意的一個能被2整除余數(shù)為0的整數(shù)，這個概念很容易就被理解，可知，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)的必要性特征，換句話說，能被2整除是判斷一個數(shù)是否是偶數(shù)的充分條件。我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，考慮哪些特征是必要的，哪些特征是充分的，這對于我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念有很大的幫助，通過這種方法能使我們更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

2 概念的特異性特征

特異性特征是一個概念所呈現(xiàn)的典型特點，但這個概念所指代的物體不一定具備這一特性。例如，數(shù)字是數(shù)學(xué)問題的特異性特征，但并不構(gòu)成定義性特征。還有，我們常認為一個數(shù)的平方只能是整數(shù)，可是等我們到了高三的學(xué)習(xí)時，才知道還有一個數(shù)的平方是負數(shù)。所以，我們在思維教學(xué)時，對數(shù)學(xué)概念的形成應(yīng)給出明確的解決辦法，同時教師向?qū)W生教授概念時，可以用很多種辦法，例如，只教給他們數(shù)學(xué)概念的特異性特征，只教定義性特征，或者既教給他們定義性特征又教特異性特征。我們教師在進行概念教學(xué)時要用大量的例子幫助學(xué)生明確概念的界限，使學(xué)生可以充分地理解概念，明確數(shù)學(xué)概念形成的過程。

三 如何推理

推理是從證據(jù)得出結(jié)論的過程。通過推理，學(xué)生將他們在課堂上看到的和聽到的東西融會貫通。推理是深入、縝密的思考。有經(jīng)驗的數(shù)學(xué)教師鼓勵學(xué)生借助概念進行推理，而不是簡單地記住這些概念，哲學(xué)家和心理學(xué)家通常將推理分為兩種基本類型——演繹推理和歸納推理。

1 演繹推理

演繹推理是從一個或者幾個一般性前提中得出具體的、符合邏輯的結(jié)論的過程，也就是從一般到具體的過程，例如在數(shù)列的學(xué)習(xí)中我們通?？梢赃M行從一般到具體的演繹。再比如，當(dāng)我們列出幾個不等式，并求三個不等式的并集，這就是由三個不等式的解集得出x的取值范圍，如下：(1)2X-2>0(2)X2+1～<3X+1(3)X2+1≤2，x的取值范圍是1≤x≤3。

2 歸納推理

歸納推理是由特定事實或觀察得出一般結(jié)論的過程，也就是從特殊到一般的過程。例如，我們從函數(shù)的單調(diào)性可以看出，當(dāng)我們給定的一個區(qū)間I上，可以規(guī)定所有的初等函數(shù)的單調(diào)性問題。一般地設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果于定義域某個區(qū)間D上，任取兩個自變量x，x2，當(dāng)Xl

數(shù)學(xué)推理教學(xué)可以使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念加深理解，同時可以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，使其能夠更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

四 如何進行“問題解決”

“問題解決”是一種重要的認知活動，對解決人們?nèi)粘Ｉ钪兴龅降膯栴}具有重要的意義。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“問題解決”通常是指解決數(shù)學(xué)問題，最早的代表作有美國數(shù)學(xué)家波利亞的《怎樣解題》，他將數(shù)學(xué)解題分為四個階段：理解問題；設(shè)立解題計劃；執(zhí)行計劃；回顧。波利亞教授通過解題教學(xué)，使學(xué)生在解題過程中獲得新知識和新技能。數(shù)學(xué)課的“問題解決”教學(xué)是教師教授學(xué)生利用概念和推理解決問題，并且使學(xué)生通過這個過程了解自己所處的數(shù)學(xué)世界。教師應(yīng)該理解問題解決的整個過程，以便教給學(xué)生如何更有效地解決問題。

步驟一，確認問題的存在，定義問題。當(dāng)我們在講述數(shù)學(xué)知識時，我們要注意學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，如果我們所講述的數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)生聽不懂，我們就意識到問題的存在，從而我們就要對問題進行分析，使我們對問題有所了解并定義問題。

步驟二，收集和分析問題的信息。學(xué)生對有關(guān)問題的信息的了解通常決定這個問題能否解決。往往數(shù)學(xué)問題有很多種表達方式，例如小明去商店買糖，每塊糖是0.2元，他買了兩塊，同時他給了售貨員1元錢，問，應(yīng)該找給他多少元。針對這個問題，我們有多種表達，例如學(xué)生A：1-2×0.2=0.6，學(xué)生B：1-X=0.4，還可以利用圖形進行解答，這些都是問題的表達。當(dāng)我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)問題時，我們應(yīng)該用最有效的表達和最有效的組織方式，對問題進行剖析。

步驟三，問題解決的策略。如果學(xué)生掌握了問題的信息，我們教師就要教授學(xué)生進行設(shè)計或者選擇一種問題解決的策略，策略計劃對于學(xué)生來說很重要，良好的解決問題的步驟，可以更加有效地促進學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，當(dāng)然，學(xué)生也不一定知道每種問題都有解決的辦法，這就需要我們教師在進行思維教學(xué)時，針對學(xué)生的數(shù)學(xué)概念形成、推理和問題解決進化能力的培養(yǎng)，使學(xué)生能夠針對問題，想出更有效的策略。

步驟四，優(yōu)化問題解決的資源。學(xué)生用于完成問題解決的時間是有限的，所以必須要有效地分配時間。當(dāng)我們在有效的時間里對所有存在的問題進行解決時，我們就要針對資源進行優(yōu)化。當(dāng)我們對解決問題的資源進行處理時，我們就會有針對性地刪減，這就需要我們有一定的靈活性。有效的數(shù)學(xué)思維可以幫助同學(xué)能夠迅速而且透徹地理解事物，并且很好地完成數(shù)學(xué)解題。當(dāng)我們進行思維教學(xué)，教師應(yīng)該合理地分配這些資源，這樣有助于為學(xué)生創(chuàng)造一個良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生在問題解決中更加靈活。

步驟五，問題解決的監(jiān)控和解決方案的評估。當(dāng)學(xué)生在解決一個問題時，必須關(guān)注問題解決的每一個步驟。例如，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)系發(fā)展史時，我們必須對數(shù)的思想史進行了解，監(jiān)控它的發(fā)展過程，同時也對數(shù)系的擴充過程進行掌握，對問題解決方案進行評估。當(dāng)解決問題以后，我們要對解決問題的策略方案進行評估，就像在解數(shù)學(xué)方程時要驗根一樣，要對整個問題解決的步驟和細節(jié)進行檢查，看看是不是每個過程都是合理的，是不是符合數(shù)學(xué)邏輯推理，是不是可以更加簡化，是不是最有效的數(shù)學(xué)思維等等。

上面我們介紹了問題解決的模型，無論我們怎么進行問題解決，我們都要注重對學(xué)生的解題能力的培養(yǎng)，使學(xué)生更加有效地提出問題解決策略，更有效地進行數(shù)學(xué)思維活動，從而更加有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。針對數(shù)學(xué)的“問題解決”我們還有很多種模型，但是在多種模型中，教師應(yīng)該教會學(xué)生更有效地進行學(xué)思維。

教師在講解數(shù)學(xué)“問題解決”時，應(yīng)該幫助自己的學(xué)生學(xué)習(xí)有效的問題解決策略，幫助學(xué)生克服問題解決中的障礙，使學(xué)生可以更有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。教師通過思維教學(xué)使學(xué)生將“問題解決”的過程理論化，并掌握解決問題的技巧。

五 如何進行思維教學(xué)

我們可以采用兩種基本的方法，一種是通過獨立的訓(xùn)練程序，在這個程序里，思維被當(dāng)作一個單位的課程進行教學(xué)。這樣的教學(xué)訓(xùn)練，使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的形成、推理、問題解決有一定程度上的認識。另一種常用的方法是滲透式教育，這種方法將關(guān)于如何思維的教學(xué)融入到其他的課程中。比如，學(xué)生們在數(shù)學(xué)課堂中學(xué)到的數(shù)學(xué)思維技巧應(yīng)用于諸如購賣百貨這樣的現(xiàn)實生活中。如果思維是獨立地被教授的話，那么它同其他的課程聯(lián)系不明顯，但是在滲透式教學(xué)中，這一聯(lián)系被直接地表現(xiàn)出來，對學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成、推理、問題解決都有很重要的幫助，將會使學(xué)生對數(shù)學(xué)思維判斷有清醒的認識。

數(shù)學(xué)思維教學(xué)過程培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式，在進行教學(xué)之前，我們教師本身也要對數(shù)學(xué)內(nèi)容有所掌握，這樣我們在教學(xué)中可以起到引導(dǎo)作用。在學(xué)生思維形成之時，我們教師可以針對相關(guān)知識進行簡單地概括和總結(jié)，這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的形成、推理、問題解決時，就可以形成有效的思維方式，可以對數(shù)學(xué)知識中出現(xiàn)的問題有所認識，最后可以解答數(shù)學(xué)問題和實際生活中我們所遇到的數(shù)學(xué)問題。

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