生長(zhǎng)性:數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的應(yīng)然追求

數(shù)學(xué)知識(shí)是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)和經(jīng)驗(yàn)的概括，涵蓋數(shù)學(xué)概念、定理、公式、方法和思想等內(nèi)容，其中既有陳述性知識(shí)，也有程序性知識(shí)。在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)目標(biāo)常被簡(jiǎn)單地理解為數(shù)學(xué)結(jié)論的掌握，以是否能夠應(yīng)用結(jié)論解題作為唯一的教學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)著師生對(duì)知識(shí)工具性的單一追求。數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握方式?jīng)Q定了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程中所能達(dá)到的寬度和深度，有效的數(shù)學(xué)教學(xué)要能讓學(xué)生從知識(shí)掌握過(guò)程本身汲取經(jīng)驗(yàn)、鍛煉思維并最終獲得發(fā)展。因此，教師的教學(xué)視野也必須從“如何有效讓學(xué)生接受知識(shí)是這樣的”進(jìn)而關(guān)注“如何發(fā)展性讓學(xué)生思考知識(shí)是怎樣生長(zhǎng)成這樣的”。

◎一、探尋知識(shí)形成過(guò)程：從“知識(shí)是這樣的”到“知識(shí)是怎樣成為這樣的”◎

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，師生常常囿于“知識(shí)就是這樣的”，即知識(shí)抽象后的結(jié)論形態(tài)，很少有人追溯“這個(gè)知識(shí)怎樣成為這樣的”。其實(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)也不是天生就有的，很多數(shù)學(xué)知識(shí)探尋其源頭，并不神秘和復(fù)雜，相反，卻能感受到一種親切和豁然開(kāi)朗的感覺(jué)：它是數(shù)學(xué)家們對(duì)生活常識(shí)的合理遷移和概括。讓學(xué)生擁有這樣一種學(xué)習(xí)經(jīng)歷，那么數(shù)學(xué)在他的眼里，一定不是枯燥和深?yuàn)W的，相反，數(shù)學(xué)是一種鮮活的事物、創(chuàng)造的啟迪。

1．在常識(shí)中挖掘。蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)，接近和深挖事物的本質(zhì)及其因果聯(lián)系的實(shí)質(zhì)，這一過(guò)程本身就是興趣的主要源泉。人類文明在漫長(zhǎng)跋涉的進(jìn)程中，經(jīng)歷了無(wú)數(shù)嘗試、抽象和積淀的發(fā)展歷程，最終形成了符號(hào)化、體系化的數(shù)學(xué)知識(shí)。這一發(fā)展過(guò)程以及過(guò)程背后的發(fā)展規(guī)律是數(shù)學(xué)知識(shí)最大的魅力所在。如數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多的規(guī)定，那么為什么會(huì)有這樣的規(guī)定，而不是其他的可能呢？教師要能合理解讀這些現(xiàn)象：為什么正數(shù)前面的正號(hào)可以省略？就是因?yàn)樯钪姓龜?shù)用的比負(fù)數(shù)多，規(guī)定正號(hào)可以省略，會(huì)更方便些。為什么時(shí)間（時(shí)、分、秒）的進(jìn)率選擇了60呢？史學(xué)家通過(guò)考證認(rèn)為，這是因?yàn)椤霸?00以內(nèi)的自然數(shù)中，60的因數(shù)最多”，這樣可以使許多有關(guān)時(shí)間的運(yùn)算（特別是在古代計(jì)算有關(guān)歷法問(wèn)題）變得十分簡(jiǎn)便。

2．在過(guò)程中共鳴。數(shù)學(xué)知識(shí)在其文化傳承中有著固有的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，“刪繁求簡(jiǎn)，不斷進(jìn)化”的理性精神，是數(shù)學(xué)知識(shí)一個(gè)基本的發(fā)展脈絡(luò)。由此，我們也可以引導(dǎo)學(xué)生與數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)過(guò)程“共鳴”。如教學(xué)“除法”時(shí)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：從360中連續(xù)減去幾次5，結(jié)果是0？在學(xué)生得出“360÷5”的算法后，教者及時(shí)追問(wèn)：題目是減法，為什么用除法來(lái)解決呢？引導(dǎo)學(xué)生感受進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，有時(shí)連續(xù)減去同一個(gè)數(shù)太麻煩，于是人們便創(chuàng)造出了除法。教師再把學(xué)生的思維引向深入：是否有可能有些問(wèn)題運(yùn)用除法計(jì)算也會(huì)不夠簡(jiǎn)便？教者介紹以后還會(huì)接觸到“乘方”、“開(kāi)方”等知識(shí)。這種體驗(yàn)不只對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響，對(duì)其今后的工作、生活都是一種能力的開(kāi)拓，這是純粹的告知和演練所無(wú)法給予的。

3．在比較中建構(gòu)。數(shù)學(xué)教學(xué)要在知識(shí)的形成過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生不斷地反思：這樣的結(jié)論是否合理？是不是一定要這樣？還有更好的優(yōu)化嗎？這些追問(wèn)不僅有利于破解學(xué)生的困惑，澄清知識(shí)的本質(zhì)，更有利于讓學(xué)生從更高的起點(diǎn)系統(tǒng)的建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，而不是被知識(shí)所束縛。如我國(guó)的計(jì)數(shù)習(xí)慣是“四位一級(jí)”，而很多講英語(yǔ)的國(guó)家是“三位一級(jí)”，為什么呢？教師引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：很多西方國(guó)家沒(méi)有“萬(wàn)”這個(gè)名稱。在這樣的文化背景下，三位一級(jí)就比較方便，每級(jí)分別表示多少個(gè)一、多少個(gè)千、多少個(gè)百萬(wàn)……弄清知識(shí)產(chǎn)生淵源，學(xué)生能更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

◎二、展開(kāi)知識(shí)獲取過(guò)程：從“知識(shí)是這樣的”到“知識(shí)是怎樣發(fā)生的”◎

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多知識(shí)的獲取都是學(xué)生在教師的指令下完成的。蘇格拉底認(rèn)為，教師的任務(wù)是把存在于學(xué)生內(nèi)心的知識(shí)引導(dǎo)出來(lái)，變?yōu)閷W(xué)生實(shí)際的知識(shí)和技能。引導(dǎo)學(xué)生感知知識(shí)的獲取過(guò)程，可以使得知識(shí)的掌握成為可以復(fù)制的經(jīng)驗(yàn)，并且在新情境中能夠自我適應(yīng)、創(chuàng)生和發(fā)展。

1．讓學(xué)生充分經(jīng)歷概括的過(guò)程。數(shù)學(xué)知識(shí)最為重要的一個(gè)特性是抽象性。與其他抽象活動(dòng)一樣，數(shù)學(xué)抽象同樣是一種概括，不同的是表明事物或現(xiàn)象在數(shù)量方面的共同特性。學(xué)生需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的概括過(guò)程來(lái)理解和掌握知識(shí)，并最終能運(yùn)用這種手段理解和掌握新的數(shù)學(xué)知識(shí)。如某教師教學(xué)“加法交換律”，首先通過(guò)朝三暮四的故事引出等式“3+4=4+3”，并提出：“觀察這一等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？”一個(gè)學(xué)生回答：“我發(fā)現(xiàn)，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。”這正是教師所期望得到的結(jié)論。但這個(gè)學(xué)生“完美”的回答掩蓋了全班學(xué)生的茫然，更重要的是，這樣的一問(wèn)一答未能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)概括的過(guò)程性，學(xué)生即便能掌握這一知識(shí)，但這些經(jīng)驗(yàn)卻不可復(fù)制。教師可提問(wèn)引導(dǎo)：“單獨(dú)一個(gè)算式是否一定能夠得出上面的結(jié)論呢？”“我概括為：交換3和4的位置，和不變。你對(duì)兩種結(jié)論有什么看法？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“黑板上單獨(dú)的一個(gè)式子就得出交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變不是很嚴(yán)密，只能作為一種猜想。不能排除還有其他不同情況。”最后指出，有了猜想，還需要舉很多例子來(lái)驗(yàn)證，這樣得出的結(jié)論才可信。這種從猜想到驗(yàn)證的過(guò)程，體現(xiàn)了知識(shí)完整的獲取過(guò)程，是學(xué)生重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2．給學(xué)生選擇有效信息的機(jī)會(huì)。知識(shí)的獲取并非一帆風(fēng)順，但當(dāng)前數(shù)學(xué)知識(shí)的推導(dǎo)過(guò)程往往是教師預(yù)設(shè)好的，學(xué)生不能選擇，更不能感受對(duì)于知識(shí)的嘗試和調(diào)整的過(guò)程。當(dāng)學(xué)生獨(dú)立面對(duì)新的問(wèn)題時(shí)，因?yàn)閷?shí)際上并沒(méi)有真正“獨(dú)立”經(jīng)歷過(guò)一個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程，往往會(huì)束手無(wú)策。如在教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)，一般都是首先引導(dǎo)學(xué)生把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，再直接指向長(zhǎng)、寬與面積的關(guān)系，根據(jù)長(zhǎng)方形推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，為什么要把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，這樣的轉(zhuǎn)化過(guò)程是怎樣發(fā)生的，都作為一種已然的情況直接告知了學(xué)生，學(xué)生缺少一種必要的探索經(jīng)歷。教師可從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，設(shè)計(jì)這樣的教學(xué)過(guò)程：首先出示一個(gè)平行四邊形，讓學(xué)生猜測(cè)平行四邊形面積的大小可能與什么有關(guān)？在學(xué)生充分猜測(cè)的基礎(chǔ)上，教師提供一些平行四邊形和學(xué)生需要的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究（有底、高、斜邊、夾角的數(shù)據(jù)以及根據(jù)方格圖數(shù)面積），觀察能發(fā)現(xiàn)怎樣的規(guī)律。學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)的規(guī)律有很多，其中最容易看出、研究最方便的規(guī)律是平行四邊形的面積與底和高的關(guān)系。在學(xué)生回答平行四邊形的面積等于底乘高時(shí)，教師引發(fā)思考：僅僅通過(guò)這三組數(shù)據(jù)能不能確信呢？引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣證明，這時(shí)學(xué)生很自然地想到了把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生不受教師的暗示和限制，充分考慮各種可能性，然后從中選取有效的因素得出猜想并驗(yàn)證，這種在活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)，也更有啟發(fā)性。

◎三、外顯知識(shí)思維過(guò)程：從“知識(shí)是這樣的”到“知識(shí)背后的知識(shí)是怎樣的”◎

教學(xué)的本質(zhì)是思維對(duì)話。教學(xué)首先是一種特殊的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，但這種特殊性絕非是因?yàn)榻虒W(xué)是以間接知識(shí)為主的學(xué)習(xí)過(guò)程，更重要更為深刻的是思維的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通過(guò)內(nèi)在數(shù)學(xué)思維脈絡(luò)的梳理和提升，讓學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的改變觸手可及，這種提煉、整合和溝通的過(guò)程，幫助學(xué)生從思維的層面掌握知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，也改變著學(xué)生的思維品質(zhì)，能夠使得學(xué)生學(xué)會(huì)思維、學(xué)會(huì)認(rèn)知，更深刻、有效地同化或順應(yīng)新知。

1．從無(wú)序到有序。把看似雜亂無(wú)章的各種方法條理化地分析，可以使得學(xué)生的思維更加有序、全面，從個(gè)別思維發(fā)展為系統(tǒng)思維，養(yǎng)成用聯(lián)系的、辨證的眼光觀察、思考事物的習(xí)慣。如在教學(xué)“10的分與合”時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)情境：媽媽將10塊糖分給哥哥和弟弟，她可能會(huì)怎么分？學(xué)生得出多種方法。教師可在此處作一思維方式的提升：你能有條理地把上面的方法寫下來(lái)嗎？引導(dǎo)學(xué)生按照一定的順序梳理答案。

2．從有限到無(wú)限。小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)常常是不完全歸納，需要借助于直覺(jué)、猜想，但這不意味著教師可以放松對(duì)學(xué)生思維嚴(yán)密性的培養(yǎng)。讓學(xué)生從有限的事物中看到無(wú)限的規(guī)律，可以更好地發(fā)展一個(gè)人思維的深刻性，觀察事物更具有思維深度。以教學(xué)“倍數(shù)和因數(shù)”為例，在學(xué)生寫3的所有倍數(shù)時(shí)，有學(xué)生提出：“3的倍數(shù)有無(wú)限個(gè)，我們只寫出前面幾個(gè)，行嗎？要不要多寫幾個(gè)？”學(xué)生困惑的本質(zhì)所在，其實(shí)是能否用有限的數(shù)的排列規(guī)律表示出無(wú)限的數(shù)的問(wèn)題。教師這樣展開(kāi)對(duì)話：“一組數(shù)列3、6、9、12、15……后面的數(shù)沒(méi)有寫出來(lái)，你能看出來(lái)嗎？怎么看出來(lái)的呢？”學(xué)生按照數(shù)列的排列規(guī)律一口氣報(bào)了很多個(gè)。教師引導(dǎo)：“按照這樣的規(guī)律，我們寫出前面幾個(gè)數(shù)，已經(jīng)能夠確定后面的數(shù)了，那還用再多寫嗎？”學(xué)生困惑自然解除。

3．從部分到全局。實(shí)際生活中經(jīng)常無(wú)法直接把握全局，需要我們逐步的探索部分規(guī)律，逐漸獲得整體性認(rèn)知。如教學(xué)“認(rèn)識(shí)整萬(wàn)數(shù)”，課尾有一個(gè)猜數(shù)游戲。逐步出示3個(gè)條件：一個(gè)七位數(shù)，它是個(gè)整萬(wàn)數(shù)，最高位上有6個(gè)珠子，其他位上沒(méi)有珠子。在學(xué)生根據(jù)條件逐步縮小外延的過(guò)程中，教者不能簡(jiǎn)單問(wèn)能不能猜出，而應(yīng)追問(wèn)根據(jù)條件已經(jīng)能確定到什么范圍，培養(yǎng)學(xué)生從未知到已知的思考策略。（作者單位：江蘇翔宇教育集團(tuán)寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

□責(zé)任編輯 孫恭偉

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