建立符號意識 發展數學思維

在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《新課標》）中，“符號感”作為核心概念，首次明確地被列為數學課程的學習內容。在《新課標（修訂稿）》中，“符號感”改成了 “符號意識”。為何有這種變化？到底什么是“符號意識”？如何建立學生的符號意識？這些問題成了老師們迫切需要解決與面對的問題。

一、準確把握符號意識的內涵

1.“符號感”與“符號意識”。《新課標（實驗稿）》所述的符號感，是“人對符號的意義、符號的作用的理解以及主動地使用符號的意識和習慣”，主要表現在：能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，并用符號來表示；理解符號所代表的數量關系和變化規律；會進行符號間的轉換；能選擇適當的程序和方法解決用符號所表達的問題。

鄭毓信教授認為：“有必要對‘感’、‘觀念’、‘能力’、‘意識’這樣幾個詞的用法做出清楚的說明……‘符號感’這一用詞實在值得商榷，因為我們似乎很難想象什么是對于符號的敏感性。”

《新課標（修訂稿）》中將“符號感”修改為“符號意識”，表述為：能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行一般性的運算和推理。比較兩個版本的《新課標》，除了概念的厘清外，《新課標（修訂稿）》去掉了“能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律”，增加了 “知道使用符號可以進行一般性的運算和推理”，總體上減小了難度，“有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式”。

2.符號意識的價值。符號意識主要指人們主動地、普遍地運用符號去表述研究的對象。對于學生而言，就是要完成從文字語言→數學語言→符號語言的轉換，建立符號意識，可以準確表達數學思想，避免日常語言的繁復、冗長或含混不清。

符號意識對數學的發展起著重要的推動作用。系統地運用符號，可以簡明地表達數學思想，從而簡化數學運算或推理過程，加快數學思維的速度，促進數學思想的交流。比如，在《九章算術》里，古代數學家對數學題是一題一題地處理，思維停留在算術水平上。建立符號意識后，算術思維上升為代數思維，就可以將上述問題轉化為方程的研究，按照未知量的個數或次數的不同進行分類處理。

3.符號的分類。沒有科學的系統完備的符號體系，是我國古代數學不能進一步發展的主要原因。沒有專門的符號和公式，就不可能有現代的數學。從數理邏輯的觀點來看，數學符號可劃分為八大類：①對象符號。又可分為個體對象符號和可變對象符號。個體對象符號如數(自然數、分數、小數)、π(圓周率)等。可變對象符號，如用x、y、z表示未知量或變量，用字母表示幾何中的點、直線、平面等。②運算符號。如+、-、×、÷等，這些在小學數學中經常出現，屬個體運算符號。③關系符號。如=、>、<、≠、≈等。④結合符號。它規定了算術運算進行的次序，如()、[]、{}等。⑤標點符號。如逗號(分節號)、省略號(無限小數)、問號(未知數)等。⑥結論符號。如公式、定律、數量關系等。⑦性質符號。如正號、負號等。⑧縮略符號。如：∵、∴等。

準確把握符號意識的內涵，能幫助教師在教學過程中做到心中有數，分階段、有層次地適時適度引導，不斷提高學生的符號意識，從而豐富學生的數學素養，發展學生的數學思維。

二、科學建立符號意識的方法

學生符號意識的發展，不是一朝一夕就可以完成的，而是貫穿于學生數學學習的全過程，伴隨著學生數學思維層次的提高逐步發展的。這里包含三層意思：一是理解各種數學符號的意義，即表示什么意思，在什么時候使用以及怎樣使用，這是發展符號意識的基礎。二是理解數學符號的作用與價值：為什么使用符號、有哪些好處，這是發展符號意識的重點。三是在學習數學和應用數學時，在獨立思考和與人交流時，都能經常地、主動地甚至創造性地使用符號，這是具有符號意識的表現。

1.在具體情境中，體會數學符號的作用。數學的產生和發展與現實生活密不可分，在教學過程中，如果能創設適宜的問題情境，將會有助于學生體會數學符號的作用。

自然數是一種個體對象符號，在教學“認數6”時，通過實物或多媒體，在具體情境中數出“6”個人，“6”棵樹，“6”只鳥、“6”朵花……它們的數量都是“6”，我們可以用“6”個圓片來表示6個人、6棵樹、6只鳥、6朵花，還可以用數字“6”來表示。這就是對數量進行“符號化”。當我們看到數字“6”時，就會和數量是6的具體實物聯系起來。當學生理解了數字6的實際含義后，進一步擴大其外延，數字6還可以表示順序，如同學們排成一橫隊時，從左往右數，小紅在第6個；數字6還可以表示代號，如6號運動員是王小亮。

又如，在“認識分數”教學中，教師創設了“等分蘋果”的情境，引導學生從日常語言（一半）過渡到文字語言（二分之一），最終引出數學符號語言（）。

教學常用的數學符號，結合具體的情境，能讓學生了解數學符號產生的需要，體會由于使用符號，才能清楚、簡便地表達這些具體情境中的數量關系和變化規律。

2.在解決問題中，經歷符號化的過程。生活中的數學符號很多，大街小巷、劇院、會場、家里、學校……只要學生生活過的地方，都能見到各式各樣的符號，如路口的標記“”，表示此路不通；公共汽車上的“”，表示禁止吸煙；某場地有標志“”，表示可以停車等，從某種意義上說，我們生活在一個“符號化”的世界。教學中，教師可以充分利用學生生活中潛藏的“符號意識”，給學生提供機會，讓學生經歷“從具體事物→學生個性化的符號表示→學會數學地表示”這一逐步符號化的過程。

如在解決“一條船最多坐4人，14人至少需要幾條船？”這一問題時，有的學生可能會通過實際“排練”找到答案；有的學生可能會用圓片表示船，用小棒表示人，然后通過操作找到答案；還有的學生可能會在白紙上畫圖，用橢圓表示船，用豎線表示人，找到答案；當然，也有的學生會通過算式求得結果。

又如教學“有余數除法”時，出現了這樣一道題：在一條小河一旁種樹，每兩棵柳樹中間要種一棵桃樹，第一棵種的是柳樹，那么第100棵是什么樹？這樣的題目，光讓學生用腦子想，確實有點困難。怎么辦呢？通過討論，學生各抒己見，有的說可以畫出來看看，有的說可以拿東西來擺一擺，教師問：“你們打算用什么表示柳樹、桃樹呢？”“、”、“□、○”、“柳、桃 ”……學生們一連說了好幾個答案，最后我們一致選出了最簡單的表達方式進行排列：□○□○□○……看著這么簡便的符號，學生一下子就找到了規律，也很快地解決了這道難題。

由此可見，在解決問題的過程中，學生經過交流、分享，積累了解決問題的經驗，同時也經歷了符號化的過程，逐步體會到用數、形將實際問題“符號化”的優越性。

3.在用字母表示數中，提升學生對符號的認識。用符號表示具體情境中的數量關系，也像普通語言一樣，首先要引進基本字母。從第二學段開始接觸用字母表示數，是學習數學符號的重要一步。這一步從研究一個具體特定的數到用字母表示一般的數，逐步提升學生對符號的認識。

如在新世紀教材四年級下冊“字母表示數”一課的教學中，教師在大屏幕上展示了整齊摞在一起的4本相同的《中外童話》，并出示式子4a。

師：請同學們想一想，在這里，a可以表示什么？4a又可以表示什么？

學生思考片刻，紛紛發表自己見解。

生1：a可以表示1本《中外童話》的價錢，4a表示4本《中外童話》的總價。

生2：a還可以表示1本《中外童話》的頁數，4a就表示4本《中外童話》的總頁數。

生3：a也可能表示的是1本書的厚度，4a表示的就是這4本書的總厚度。

生4：如果1本《中外童話》的字數用a表示，那么4本《中外童話》的總字數就能用4a表示。

師：同學們說得真好！（屏幕上的4本《中外童話》消失了，4a被放大，占據了整個畫面）大家可以聯系自己的生活實際再想一想，4a還可以表示什么呢？

生1：可以用a表示1千克蘋果的價錢，4a表示的就是4千克蘋果的總價。

生2：我用a表示1張課桌桌面的面積，4a就表示4張課桌拼在一起的桌面總面積。

生3：我們1個學習小組有4個同學，那么4a就表示a個小組一共有多少個同學。

生4：……

下課鈴聲響了，學生意猶未盡，還圍著老師說個不停。

“字母表示數”是學生學習用符號表示具體情境中隱含的數量關系和變化規律的開始。在學習過程中，學生既要面對知識抽象性和概括性所帶來的認知上的挑戰，同時要努力適應這種與以往大不相同的新的數學表達方式，通過教學，打破了學生頭腦中固有的計算結果一定要是一個具體的數的觀念。通過教學，不僅讓學生進行了從具體到抽象的概括，而且進行了從抽象到具體的解釋，在具體的解釋應用中，深化了對字母表示數意義和作用的理解，發展了符號意識。

4.在鼓勵創新中，實現學生思維上的飛躍。數學符號是在發展中不斷完善的，除了既有的符號系統外，還有一類也不容忽視，那就是個人創造并習慣使用的。學生在體驗、分析、理解等學習活動基礎上，根據自己的感悟按需要創新出的符號，是學生對概念、定理等數學知識更深層次理解后的成果，是難能可貴的。在使用自己的符號時，學生最能體會符號對自己思維的幫助，也最能積累使用符號的經驗，形成符號意識。

對小學生來講，創造性地使用自己獨特的符號，難度非常大，日常教學中，教師要根據學生的認知特點，幫助學生理順數學概念、規律等符號化的一般關系，從體驗到理解運用，再從理解運用到按需要創新，步步為營，螺旋上升，逐步建立“符號意識”，實現學生思維上的飛躍。

三、逐步形成使用符號的能力

符號意識的建立和發展過程是一種抽象概括的過程，也是學生觀察能力、分析能力、判斷能力逐漸成熟的過程，教師要善于運用回顧與分析、變式與對比、感悟與體驗等渠道，使學生對符號的運用達到深刻理解和掌握的水平，發展學生的數學思維。

1.加強符號語言與其他數學語言的互譯與表述。用符號語言更能體現出數學語言的簡練、明確等特點，能更好地滿足數學思想的需要。牛頓曾說過“解答一個含有數量關系的問題時，只要把題目由日常語言譯成代數語言就行了”。看來，數學語言的互譯與表述是解決數學問題很重要的一環，它可以提高學生的數學素養，對符號意識的培養有很重要的作用。在具體進行“翻譯”時，要注意以下幾點：①弄清句子中某些詞語的含義，即弄清和、差、積、商、大、小、多、少、倍、分等詞語的含義；分清數量關系和運算順序。②注意一譯多、多譯一的表述。如:“a-b=c”可以讀作:①a比b大c，②b比a小c，③a減去b等于c，④a與b的差是c，反之亦然……

2.加強學生對符號的書寫。如果說正確表述符號是培養符號意識的第一步，那么正確的書寫應是第二步。其實它們是不分先后的，正確的書寫對符號意識的培養同樣重要。對簡單符號、合成符號的書寫按規范作嚴格要求，做到規范書寫，不能隨意臆造；掌握讀寫一致，做到每學一種符號就會讀會寫；知道在不同的情景下使用相應的符號；對形同而義不同的符號應加強歸納和區別；對形式不同但表示意義相同的符號，要注意各種形式的具體用法。對于比號“∶”與冒號“：”、角的符號“∠”與小于號“＜”等比較類似的符號，要用心加以區別。

3.加強學生對符號涵義和實質的理解。數學符號是抽象的結晶與基礎，如果不了解其含義與功能，它如同“天書”一樣令人望而卻步，然而只要細加分析，即可發現符號化給數學理論的表述和論證帶來的極大方便，甚至是必不可少的。數學符號是一種數學表象，它不表示哪一個特殊的或個別的數學對象，而是理想化的帶有普遍性的數學形象。正確表述、書寫數學符號都必須在理解符號含義、實質的基礎上進行。因而，要使學生真正具有符號意識，就必須在數學教學中加強學生對符號涵義和實質的理解。

總之，學生符號意識的培養是一項長期而艱巨的工作，需要教師在教學工作中不斷摸索和總結；需要教師從點滴做起，從具體工作做起；需要教師對學生在符號的表述、符號的書寫上作嚴格要求；當然，更應該重視對數學符號涵義和實質的分析。通過準確把握符號意識的內涵，幫助學生科學建立符號意識，使學生逐步形成使用符號的能力，發展學生的數學思維。（作者單位：江蘇省蘇州工業園區第二實驗小學）

□責任編輯 孫恭偉

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