數(shù)學(xué)問題中條件的轉(zhuǎn)化

摘要：客觀事物在不斷地運(yùn)動(dòng)變化，事物之間在互相轉(zhuǎn)化。反映在數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化思想就是在處理問題時(shí)，把待解決或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化，變?yōu)橐活愐呀?jīng)解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解決。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)問題；轉(zhuǎn)化；舉例

波利亞指出：“解題過程就是不斷變更題目的過程”。轉(zhuǎn)化思想就是要求我們換一個(gè)角度去看，換一種方式去想，換一種語言去講，換一種觀點(diǎn)去處理，以使問題朝著有利于解決方向不斷變更，從不同的角度和特征出發(fā)，把同一問題用不同的形式在不同的水平上轉(zhuǎn)化出來。轉(zhuǎn)化就如同“翻譯”，通過“翻譯”，不僅使我們對(duì)能解決的問題不再停留在解決的層面上，而且讓我們能站得更高、看得更清、想得更好、表敘得更簡潔，做到既知道有幾種解法，又明白以怎樣方向入手去解才是最簡單。轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，轉(zhuǎn)化方法也豐富多彩。例如：對(duì)多邊形內(nèi)角和問題，運(yùn)用新知識(shí)向舊知識(shí)轉(zhuǎn)化的方法，把問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題；求解三元一次方程組時(shí)，運(yùn)用未知向已知轉(zhuǎn)化的方法，把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”，再把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”；解一元二次方程時(shí)，采用“配方法”或“開平方法”或“因式分解法”，將二次問題轉(zhuǎn)化（降次）為“一次問題”；對(duì)于直線和圓位置關(guān)系的研究，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與圓的半徑的大小比較問題，使“幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題”；解三角形（或多邊形）時(shí)，常通過“一般向特殊轉(zhuǎn)化”，變?yōu)榻庵苯侨切螁栴}；對(duì)于實(shí)際問題，則通過建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題……

平面幾何中也滲透著轉(zhuǎn)化的思想方法，初中平面幾何研究的是平面圖形的性質(zhì)，這些變化無窮的平面圖形則是由各種不同的最簡單最基本的圖形組合而成，要解決一個(gè)幾何問題，只要在復(fù)雜圖形中，辨析或構(gòu)造出基本圖形，也就是將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，再應(yīng)用基本圖形的性質(zhì)，使問題得到解決。

掌握轉(zhuǎn)化思想及其一般方法，有利于提高分析問題和解決問題的能力，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)。同時(shí)，能力的提高又會(huì)反過來加深我們對(duì)所學(xué)知識(shí)和技能的掌握。

下面就轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用舉幾個(gè)實(shí)例：

例1.解三元一次方程組：

2x-y+z=3①3x+4y-z=8②x+y-2z=-3③

解：由①+②，得

5x+3y=11④

由①×2+③，得

5x-y=3 ⑤

由④－⑤，得

4y=8

∴y=2

把y=2代入④得x=1

把x=1，y=2代入①得z=3

∴原方程組的解為

x=1y=2z=3

說明：上述解題過程中，是將三元化為二元，又將二元化為一元，從而使得原方程組得到解答，使用了“化復(fù)雜為簡單，化多元為少元，化未知為已知”的轉(zhuǎn)化原則。

例2.如圖，已知△PQR是等邊三角形，∠APB=120°，說明：QR2=AQ·RB

分析：所證比例式QR2=AQ·RB中的三條線段共線（都在AB上），不易說明，但由等邊三角形PQR得QR=PQ=PR，于是QR可用PQ、PR替換，轉(zhuǎn)化為說明不共線的關(guān)系式PQ·PR=AQ·RB，只要說明：△APQ∽△PBR即可.

解：∵△PQR是等邊三角形

∴PQ=QR=PR，∠PQR=∠QRP=∠RPQ=60°

∴∠APQ+∠RPB=60°，∠AQP=∠PRB

又∵∠A+∠APQ=60°

∴∠A=∠RPB

∴△APQ∽△PBR

∴PQ∶BR=AQ∶PR

∴PQ·PR=AQ·BR

∴QR2=AQ·BR

說明：本題運(yùn)用了解決幾何問題中一種基本思想方法——等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用等邊三角形的性質(zhì)，將共線線段成比例問題轉(zhuǎn)化為不共線線段成比例問題來解決。

例3.如圖，攔水壩的橫截面為梯形ABCD。

求（1）坡角α（2）壩底BC和坡面CD的長

解：（1）如圖。在Rt△ABE中

∵tanα=■

∴α=30°

（2）∵AE∶BE=1∶■

∴BE=■AE=2■

同理，CF=2.5DF=2.5×2=5

∴BC=2+3+5=8+2（m）

CD=■=■=■

說明：“化斜為直”是處理三角形問題中的重要手段和方法。所謂“化斜為直”就是把遇到的一般三角形（或多邊形）的問題，通過添加適當(dāng)?shù)母敝€轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形（包括正方形）問題來處理。

數(shù)學(xué)解題的方法很多，從條件入手，結(jié)合問題得到有用信息從而解決問題是一種行之有效的方法。要想熟練掌握這種方法，需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中多思考，多練習(xí)相關(guān)的開放性試題，只有這樣，我們才能在解決問題遇到困難時(shí)，游刃有余地使用這種方法。

作者簡介：陸秋云，女（1974-），江蘇省南京市人，工作單位：南京市第十二中學(xué)初中部，職稱：中學(xué)一級(jí)教師，本科學(xué)歷，具體研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。