數(shù)學(xué)思想與應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)方法中具有指導(dǎo)性地位．中學(xué)主要數(shù)學(xué)思想有函數(shù)方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想．

一、 函數(shù)方程思想

方程思想是從算術(shù)方法到代數(shù)方法中尋找等量的一種質(zhì)的飛躍，函數(shù)關(guān)系是變量與變量之間特殊的對應(yīng)，映射與變換．方程與函數(shù)思想不僅貫穿整個(gè)代數(shù)內(nèi)容，在解析幾何及立體幾何中，也蘊(yùn)含著深刻的內(nèi)涵．尤其是函數(shù)的圖像，可以解決許多重要的數(shù)學(xué)問題．

例：方程log3（x2-10）=1+log3 x

的解是.

解：方程log3（x2-10）=1+log3 x

的解滿足x2-10>0x2-10=3x，解得x=5．

二、 分類討論思想

把一個(gè)數(shù)學(xué)問題的研究對象化整為零，逐一解決，分而治之，各個(gè)擊破．步驟為：

⒈ 確定分類討論的對象——理解分類討論的概念；

⒉ 進(jìn)行恰當(dāng)合理的分類——掌握分類討論原則；

⒊ 逐類逐級討論——掌握分類討論的方法；

⒋ 綜合概括——培養(yǎng)邏輯思維能力．

例：設(shè)集合I={1，2，3，4，5}．選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有（）

A. 50種 B. 49種

C. 48種D. 47種

思路分析：此題為中上難度題，解決此題的關(guān)鍵是分類討論思想的第二步，即要掌握分類討論的原則，當(dāng)然還要進(jìn)行逐級討論．

解：集合A和B中沒有相同的元素，且都不是空集，

從5個(gè)元素中選出2個(gè)元素，有=10種選法，小的給A集合，大的給B集合；

從5個(gè)元素中選出3個(gè)元素，有=10種選法，再分成1、2兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組給B集合，共有2×10=20種方法；

從5個(gè)元素中選出4個(gè)元素，有=5種選法，再分成1、3；2、2；3、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組給B集合，共有3×5=15種方法；

從5個(gè)元素中選出5個(gè)元素，有=1種選法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組給B集合，共有4×1=4種方法；

總計(jì)10+20+15+4=49為種方法，先B．

分類討論在不等式、排列組合、函數(shù)、方程、數(shù)列問題中居多，隨著討論的級數(shù)增多，難度加大．

三、 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，其應(yīng)用大致可分為兩種情形：或借助數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或借助形的直觀性來表示數(shù)間的某種關(guān)系，利用數(shù)和形的各種優(yōu)勢，能使我們迅速找到解題途徑，簡化解題過程，溝通數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，優(yōu)化思維品質(zhì)．

例：若函數(shù)f （x）＝－x2+在區(qū)間[a，b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a，b]．

思路分析：此題屬二次函數(shù)的定義域含參數(shù)的問題，特點(diǎn)是定義域的兩端及值域都含參數(shù)，解決此題的關(guān)鍵是函數(shù)對稱軸x=0與[a，b]的相對位置關(guān)系及最值取那一端的討論．

解：分三種情況討論區(qū)間[a，b].

（１）若0≤a

（２）若a<00，故f（x）在x=a處取最小值2a，即2a=-+，解得a=-2-，于是得[a，b]＝[-2-，]．

（3）當(dāng)a

綜上所述，所求區(qū)間為[1，3]或[-2-，]．

此題屬定軸動(dòng)區(qū)間問題，動(dòng)區(qū)間變化帶動(dòng)值域的變化，只要結(jié)合圖形，采用分類討論及數(shù)形結(jié)合，以定的因素制動(dòng)的因素，此題即解．

四、化歸、轉(zhuǎn)化思想

同一數(shù)學(xué)問題，觀察角度不同，理解的層次不同，均可導(dǎo)致轉(zhuǎn)化目標(biāo)與方法的不同．藉此，可盡量從簡單、顯性、明了、具體等著手，來解決問題．

例：如圖:已知橢圓+y2=1，設(shè)直線l：y=kx+2交橢圓于M、N兩點(diǎn)，Ｏ為坐標(biāo)原點(diǎn)，求ΔMON面積的最大值，并求此時(shí)的直線l的方程．

此題可由求面積的方法計(jì)算，關(guān)鍵是運(yùn)算較繁雜，用“式”換“元”法求解則較簡潔．

解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）則由+y2=1y=kx+2?圯（1+5k2）x2+20kx+15=0

由Δ＞0，可得k2>；又因?yàn)閤1+x2=，x1x2=，

由弦長公式可得：MN=x1-x2，又設(shè)O點(diǎn)到直線的距離為d，由公式可得d=，

所以，S△MON=MNd=x1-x2=x1-x2，

得S2 △MON=（x1-x2）2=（x1+x1）2-4x1x2=20#8226;

設(shè)5k2-3=m，5k2=m+3，（由k2>，則m>0）

所以S△MON=20#8226;=

≤=，此時(shí)m=4，k2=.

因此SΔOMN的最大值為，直線方程為y=±x+2.

轉(zhuǎn)化與化歸內(nèi)容豐富，有換元法、化歸法、降冪法、合一變形法等，原則是化繁為簡．此題是換元法，即以“式”換“元”法，在分式中除分子可換外，分母亦可換，在式子中除分式可換外，無理式也可換．除以“式”換“元”法外，還有以“元”換“式”法，這種換元法在三角求值中較為常見，實(shí)際上也是一種三角代換．換元法作為一種解題技巧，滲透在不同的解題中．

常見的題型有以下六類：

（1）常等式證明題

（2）化簡求值題

（3）解方程題

（4）解不等式題

（5）求函數(shù)的最值題

（6）研究函數(shù)性質(zhì)題

針對不同題型，要選擇合理的方法，巧妙化歸與轉(zhuǎn)化，使化歸轉(zhuǎn)化思想真正起到化繁為簡、化暗為明的功效．

責(zé)任編輯羅峰

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文