淺談教學(xué)內(nèi)容組織在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)教師的內(nèi)容組織知識(shí)是其知識(shí)中的重要成分，是有效教學(xué)的必要條件。伴隨著國(guó)際教育比較、教育觀的改變、心理學(xué)的進(jìn)步、數(shù)學(xué)的發(fā)展、學(xué)生的變化及教師自身的發(fā)展，教師對(duì)一些課題的內(nèi)容組織也會(huì)不斷產(chǎn)生新的看法，比如教科書對(duì)某個(gè)課題的解釋遠(yuǎn)離學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，課題之間的關(guān)聯(lián)不夠，課題之間的梯度等，這些因素要求教師對(duì)教科書的內(nèi)容進(jìn)行再組織，形成具有個(gè)^特征的帶有實(shí)踐性的內(nèi)容組織知識(shí)。這也是人們常說(shuō)的“用教材教而不是教教材，及創(chuàng)生教材”的意蘊(yùn)。

一、教育數(shù)學(xué)的內(nèi)容組織

數(shù)學(xué)教科書的內(nèi)容組織有宏觀和微觀兩個(gè)層次。宏觀組織指的是概念體系的選擇。比如我國(guó)傳統(tǒng)的平面幾何采用公理化的歐幾里德體系，而同期國(guó)外的部分教材采用直觀幾何體系。微觀組織指數(shù)學(xué)課題之間的序列及其梯度、具體課題的解釋、例題習(xí)題的選用等。教科書在組織數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)至少考慮兩個(gè)因素：一是數(shù)學(xué)科學(xué)對(duì)該內(nèi)容的組織方式，即數(shù)學(xué)家在獲得這個(gè)知識(shí)后是如何把它與已有的數(shù)學(xué)知識(shí)組織在一起的；二是如何從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)引出新知識(shí)。數(shù)學(xué)內(nèi)容在教科書中的組織是對(duì)這兩個(gè)因素的綜合考慮。教師的數(shù)學(xué)內(nèi)容組織知識(shí)是基于教科書的，主要是所選教科書的一種微觀組織層次。教科書對(duì)某個(gè)課題的處理對(duì)特定學(xué)生可能不合適。需要教師對(duì)教科書的內(nèi)容進(jìn)行再組織。比如，上海教材六年級(jí)的課題《畫角的和差》這節(jié)課，教科書只是通過(guò)一個(gè)圖形，要求學(xué)生類比于線段的和差，概括角的和差定義與畫法。教科書的內(nèi)容表述過(guò)于簡(jiǎn)潔，知識(shí)間的梯度過(guò)大，不利于學(xué)生學(xué)習(xí)。一位青年教師在參加公開(kāi)課時(shí)對(duì)該課題進(jìn)行了細(xì)化和擴(kuò)展。細(xì)化主要是對(duì)線段和差定義，從形與數(shù)兩個(gè)維度做了說(shuō)明，“兩條線段可以相加(減)，其結(jié)果是另一條線段，這是‘形’，它的長(zhǎng)度等于這兩條線段的長(zhǎng)度和(差)，這是‘?dāng)?shù)’。”對(duì)于畫法，也做了形象的解釋，“兩條線段的和就是一條線段接上一條線段，兩條線段的差就是一條線段截去一條線段。”表示兩條線段和差的線段終點(diǎn)特征是一個(gè)在外部，一個(gè)在內(nèi)部。對(duì)于角的和差的定義與畫法也做了類似的細(xì)化。在擴(kuò)展方面，首先揭示了畫角的和差、線段的和差，計(jì)算數(shù)的和差的運(yùn)算不變性。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了角的和差與線段和差的圖形特征在結(jié)構(gòu)上是完全相同的，線段和(差)的終點(diǎn)在第一條線段的外(內(nèi))部，角的和(差)的終邊在第一個(gè)角的外(內(nèi))部。把角的邊換成線段的端點(diǎn)。兩者的規(guī)律就一樣了。接著引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了畫線段和差、角的和差的運(yùn)算過(guò)程(操作過(guò)程)與數(shù)的和差的運(yùn)算過(guò)程是一樣的：都是先做出一個(gè)，再在第一個(gè)的外(內(nèi))部做出第二個(gè)，并指出類比這種方法在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與組織上的重要性。學(xué)生能夠回憶起，“扇形的面積是類比扇形的弧長(zhǎng)學(xué)到的”，“不等式與方程(是類比學(xué)的)”。學(xué)生在此過(guò)程中體驗(yàn)到了知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，知道了如何學(xué)習(xí)類似的知識(shí)，會(huì)逐漸形成特定內(nèi)容的學(xué)習(xí)定勢(shì)與習(xí)慣，進(jìn)而領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)涵在知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

二、數(shù)學(xué)內(nèi)容組織的作用——教的視角

教師對(duì)教科書內(nèi)容的再組織是有效教學(xué)的基礎(chǔ)。內(nèi)容組織的知識(shí)可以確定教學(xué)策略。例如，相似三角形判定定理，傳統(tǒng)上大約需要3～4個(gè)課時(shí)教完。一個(gè)課時(shí)學(xué)一個(gè)判定定理。每個(gè)判定定理都以固定的模式展開(kāi)：“已知”“求證”“證明”“應(yīng)用”。從當(dāng)堂課練習(xí)效果來(lái)看，學(xué)生對(duì)剛學(xué)的定理能“能掌握、能理解”。但學(xué)過(guò)幾條定理后，不少學(xué)生練習(xí)時(shí)對(duì)定理的選擇存在障礙。上海李貞等人通過(guò)分析中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)規(guī)模的一類知識(shí)，盡管它們各自具有相對(duì)獨(dú)立的整體性，卻有相似的組織結(jié)構(gòu)，呈現(xiàn)序列與梯度，例如平行線判定，等腰三角形判定，全等三角形判定，平行四邊形判定，相似三角形判定等。他們把這類知識(shí)稱為“相似型”知識(shí)。鑒于相似三角形判定學(xué)習(xí)前，學(xué)生已經(jīng)接觸了不少“相似型”知識(shí)，對(duì)“相似型”知識(shí)已經(jīng)積累了一定的體驗(yàn)。在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)全等三角形判定基礎(chǔ)上，李貞等人給出了相似三角形的教學(xué)策略，學(xué)生通過(guò)對(duì)“全等三角形判定”的類比猜測(cè)，主動(dòng)構(gòu)建相似三角形判定的所有定理，用一節(jié)課就學(xué)完了相似三角形的三個(gè)判定定理，并取得了很好的學(xué)習(xí)結(jié)果。

上述“相似型”知識(shí)，中學(xué)代數(shù)中也有，比如數(shù)與式，方程與不等式，負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)等等，這種教學(xué)策略可以謹(jǐn)慎地推廣。內(nèi)容組織的知識(shí)可以確定教學(xué)重點(diǎn)。例如，全等三角形判定定理4(邊邊邊定理)，一位執(zhí)教公開(kāi)課的教師是這樣處理的：讓學(xué)生比較幾個(gè)三角形模型，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)三邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，只有兩邊分別對(duì)應(yīng)相等第三邊不對(duì)應(yīng)相等的三角形不重合，歸納出判定定理4。此后就一直處理一些只用判定定理4來(lái)解決的例題和練習(xí)。整節(jié)課，學(xué)生能迅速做出練習(xí)，即使例題也是學(xué)生自行解答，教師僅是展示一下學(xué)生的解答。但是，由經(jīng)驗(yàn)可以判斷，一些學(xué)生會(huì)在選用哪個(gè)判定定理來(lái)解題時(shí)遇到障礙。這是全等三角形判定的最后一節(jié)課，之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)了全等三角形的三個(gè)判定方法。每個(gè)判定方法的組織結(jié)構(gòu)都是一樣的，滿足三個(gè)條件，就可以斷定兩個(gè)三角形全等。經(jīng)過(guò)前幾節(jié)課的訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)直接應(yīng)用某個(gè)判定方法進(jìn)行說(shuō)理已經(jīng)非常熟練，形成了一種圖式，不需要教師花費(fèi)這么多的時(shí)間。這節(jié)課學(xué)生需要學(xué)習(xí)的不是機(jī)械套用判定方法4，而是能夠在四個(gè)判斷方法中選擇適宜的判定方法來(lái)判定三角形全等。該教師沒(méi)有基于學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)對(duì)內(nèi)容進(jìn)行再組織，在學(xué)生已經(jīng)理解了的地方反復(fù)講，學(xué)生需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容基本不講，致使教學(xué)效率不高。內(nèi)容組織的知識(shí)可以有效消除學(xué)生的誤解。比如，函數(shù)的奇偶性是對(duì)某些滿足函數(shù)定義要求的對(duì)稱圖形的定量刻畫。在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，學(xué)生易犯的一種錯(cuò)誤是忽視函數(shù)的定義域。一種有效消除學(xué)生誤解的方法是把對(duì)稱圖形和函數(shù)的奇偶性兩個(gè)課題拉在一塊，告訴學(xué)生奇偶性是對(duì)圖形對(duì)稱性的刻畫。消除誤解，不使錯(cuò)誤累積起來(lái)，是提高教學(xué)效率的關(guān)鍵措施。

三、數(shù)學(xué)內(nèi)容組織的作用—學(xué)的視角

教師對(duì)內(nèi)容的組織方式影響學(xué)生的知識(shí)獲得途徑，知識(shí)獲得途徑對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和靈活運(yùn)用具有重要意義。像初中合并同類項(xiàng)這一課題，同類項(xiàng)是數(shù)中同一數(shù)位上的數(shù)的一般化，合并同類項(xiàng)的法則是多位數(shù)加法法則的推廣。如果學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，以多位數(shù)加法法則為樣例，來(lái)同化合并同類項(xiàng)的法則。兩者的共性形成一個(gè)圖式，即合并同類項(xiàng)法則，兩者在是否進(jìn)位上不同，這個(gè)不同點(diǎn)是這一圖式中的變量，變量值取整數(shù)時(shí)，進(jìn)位，變量值取多項(xiàng)式時(shí)，不進(jìn)位。這樣，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，相似的知識(shí)壓縮成了一個(gè)圖式，認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到了簡(jiǎn)化，數(shù)與式聯(lián)系起來(lái)。學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)得到了更好的組織。內(nèi)容的良好組織能夠促進(jìn)記憶。學(xué)生在對(duì)知識(shí)進(jìn)行組織時(shí)，會(huì)努力在新知識(shí)與已有的知識(shí)間建立聯(lián)系，聯(lián)系得好的知識(shí)會(huì)記憶的更好。首先，知識(shí)的整個(gè)網(wǎng)絡(luò)不像孤立的知識(shí)那樣變質(zhì)。比如，對(duì)于小數(shù)的大小比較，有學(xué)生會(huì)認(rèn)為數(shù)位多的小數(shù)大(例0.123>0.4)。出錯(cuò)的原因是學(xué)生沒(méi)有把小數(shù)的大小比較與位值制聯(lián)系起來(lái)，而與正整數(shù)的大小比較(123>4)聯(lián)系起來(lái)。如果學(xué)生把小數(shù)的大小比較聯(lián)系到包括正整數(shù)的大小比較、位值制的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，理解位值的含義，小數(shù)的大小比較變質(zhì)可能性就會(huì)變小。其次，當(dāng)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系到了一個(gè)更大的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，會(huì)有更多的回憶途徑，比較容易得到恢復(fù)。比如，學(xué)生通過(guò)記住小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊的法則來(lái)學(xué)習(xí)小數(shù)加法，要恢復(fù)時(shí)只能依賴這一個(gè)方法，只能在小數(shù)加法的單鏈上追溯。假如學(xué)生利用合并同類項(xiàng)，把這一知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系到了整個(gè)的加法網(wǎng)絡(luò)，恢復(fù)時(shí)可以有幾個(gè)線索來(lái)激發(fā)，如關(guān)于位值的、同類項(xiàng)的、分母相同的分?jǐn)?shù)、量的大小等。事實(shí)上，小數(shù)加法可以作為一個(gè)較一般原理的特殊情況即席推導(dǎo)起來(lái)。教師通過(guò)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的良好組織可有效減少不必要的信息記憶量，減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，縮減學(xué)生對(duì)新知識(shí)的記憶過(guò)程。

四、數(shù)學(xué)內(nèi)容組織知識(shí)的來(lái)源

數(shù)學(xué)內(nèi)容組織的知識(shí)是范良火定義的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的子集。按照范良火的研究結(jié)論，美國(guó)中學(xué)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)來(lái)源是自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和反思、和同事的日常交流、在職培訓(xùn)、閱讀專業(yè)書刊。在范良火的框架下，中國(guó)內(nèi)地的中學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)知識(shí)的主要來(lái)源是自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和反思、有組織的專業(yè)活動(dòng)。

綜合上述結(jié)論，數(shù)學(xué)內(nèi)容組織的途徑主要是教師自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和反思、有組織的專業(yè)活動(dòng)、和同事的日常交流、在職培訓(xùn)、閱讀專業(yè)書刊。基于這些途徑，可以構(gòu)建數(shù)學(xué)教師積累數(shù)學(xué)內(nèi)容組織知識(shí)的策略。首先是不斷反思自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，思考什么是可行的，什么是不可行的如何改進(jìn)。在這種反思過(guò)程中，可以不斷地形成和積累自己的數(shù)學(xué)內(nèi)容組織知識(shí)庫(kù)。其次是參加有組織的專業(yè)活動(dòng)，接受專業(yè)引領(lǐng)。有組織的專業(yè)活動(dòng)指教研室系統(tǒng)組織的專業(yè)培訓(xùn)，教研活動(dòng)，公開(kāi)課，有專業(yè)引領(lǐng)的校本教研等等。在這些活動(dòng)中，教師跨越自己的專業(yè)邊界，可以向?qū)＜覍W(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)內(nèi)容組織的知識(shí)，尤其是從高觀點(diǎn)下對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的新分類與再組織，看到各個(gè)課題之間更多的聯(lián)系。專業(yè)活動(dòng)中，專家的視野也會(huì)為教師提供反思的機(jī)會(huì)與工具。

綜上所述，數(shù)學(xué)內(nèi)容組織至少需要考慮兩個(gè)要素：一是數(shù)學(xué)家是如何組織知識(shí)的，二是如何從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)引出新知識(shí)。單考慮數(shù)學(xué)家是如何組織知識(shí)的(這是專長(zhǎng)研究的路徑)，忽視學(xué)生的可接受性，在新數(shù)運(yùn)動(dòng)中已證明不可行。單考慮從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)引出新知識(shí)(這是杜威——布魯納的傳統(tǒng))，效率不高，且學(xué)生易得到過(guò)分受限制的知識(shí)，這種知識(shí)與情境緊密相連，很難去情境化而獲得一般化，這在民俗數(shù)學(xué)的研究中已得到證實(shí)。在充分考慮了二者的基礎(chǔ)上，它需要具有工藝性色彩的教學(xué)策略來(lái)實(shí)現(xiàn)。

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