一部展示數(shù)學(xué)直覺與研究方法的數(shù)學(xué)教材

在大學(xué)本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中，常微分方程是少數(shù)幾門可以展現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的無窮魅力并揭示數(shù)學(xué)研究本質(zhì)的課程之一。在我國至今流行的多數(shù)常微分方程教材中，通常在開始通過各種實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模而引入常微分方程的實(shí)例及定義。然后再分別介紹一階和高階微分方程的解法，即把能夠求解的方程按形式一一列出。然而，從實(shí)際問題中所提出的常微分方程多是非線性的，一般是不可求解的。這樣在常微分方程課程的教學(xué)中很難使學(xué)生充分體會(huì)到它在應(yīng)用科學(xué)中的出色魅力。另一方面，在現(xiàn)代常微分方程理論及其應(yīng)用的研究中，尋求微分方程的解析解的特殊技巧已經(jīng)不是研究的主流課題，尤其對非線性常微分方程來說，更重要的是定性方法和數(shù)值方法。因此，在流行的常微分方程教材中，往往在后面章節(jié)介紹定性方法及數(shù)值方法，不過由于課程時(shí)數(shù)所限，只能介紹一部分，或全部刪去。如何在大學(xué)本科的常微分方程教學(xué)中，既能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的直覺而引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，又能展現(xiàn)較普通的方法揭示數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)，是構(gòu)成教材設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。

由王玉文、史峻平、侍述軍和劉萍編著的教科書《常微分方程簡明教程》，在吸取歐美初等常微分方程教材優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，努力地保持國內(nèi)流行教材的特點(diǎn)，對較好地解決上述問題作了有益的嘗試。該書前4章所介紹的具體的常微分方程都是來自實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，充分顯示了常微分方程在實(shí)際應(yīng)用中的作用，為引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣做好鋪墊，然后針對不同的問題以不同的方法進(jìn)行解的表達(dá)，達(dá)到問題解決的目的；其次，在微分方程解的表達(dá)方法中，不限于解析解，而是從第1章開始，以定性分析為主，通過斜率場、解曲線及相平面上的向量場、軌線等幾何工具，達(dá)到對解的動(dòng)態(tài)行為的刻畫；為了在教學(xué)中達(dá)到預(yù)期效果，充分運(yùn)用數(shù)值方法和計(jì)算機(jī)模擬，通過圖示，展現(xiàn)對解的動(dòng)態(tài)行為的直觀理解，同時(shí)保持教材簡明，而構(gòu)成教材一大特點(diǎn)。《常微分方程簡明教程》在介紹解決問題的過程中，注重問題實(shí)質(zhì)研究，而輕視形式表達(dá)的一般性。該書以猜測一檢驗(yàn)為探究方法的核心，在充分探究各種具體問題的解法的基礎(chǔ)上，歸納出一般的方法，或給出證明，以此培養(yǎng)學(xué)生的研究能力。第4章介紹的二維非線性微分方程組是生態(tài)學(xué)中經(jīng)典的微分方程模型，通過第2章所引進(jìn)的幾何方法進(jìn)行定性分析，研究解的漸近行為及分歧現(xiàn)象，這是對現(xiàn)代微分方程研究方法的滲透。

此書還有一些問題值得商榷。例如，該書中將穩(wěn)定性的概念在第1章至第3章進(jìn)行了滲透，第4章已開始進(jìn)行二維非線性方程組的定性分析，但仍未給出穩(wěn)定性概念的精確定義，這是一點(diǎn)不足。

盡管有如上所說的美中不足之處，這仍是一本很好的數(shù)學(xué)教科書。如果想在大學(xué)本科二年級的數(shù)學(xué)教學(xué)中提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并從中學(xué)習(xí)到研究數(shù)學(xué)問題的方法，不妨閱讀一下該書。