大跨度拱橋考慮幾何缺陷的穩定性分析

朱克兆,易壯鵬

(1.長江勘測規劃設計研究有限責任公司,湖北武漢 430010; 2.長沙理工大學土木與建筑學院,湖南長沙 410114)

0 引言

橋梁結構的穩定性是關系到安全和經濟的主要問題之一,它與強度問題有著同等重要的意義,近年來隨著橋梁跨度的日益加大和橋梁結構的日益復雜,穩定問題更為突出。橋梁的失穩破壞沒有明顯的征兆,帶有很大的突然性,破壞是災難性的,在橋梁工程設計中應該避免。

拱橋是以承受壓力為主的結構體系,在過去的橋梁實踐中也曾多次發生拱橋施工中失穩的事故,造成國家和人民生命財產的重大損失,拱橋的穩定安全性[1～4]是設計和施工中需要考慮的重要因素之一。大跨度拱橋存在幾何缺陷時,即在制造、運輸、安裝以及運營等環節中拱肋軸線與理想線形存在偏離的情況下,拱肋在外荷載作用下將產生附加內力和變形,初始撓度將對拱橋產生不利影響。大跨拱橋考慮幾何缺陷的穩定問題是極值點失穩,極限承載能力分析必須考慮大位移的影響,同時由于拱肋變形很大,應變和應力隨之增加,線彈性本構關系不再適用,因此須同時考慮幾何、材料非線性的影響。幾何缺陷從分布的范圍來看可以分為整體缺陷和局部分布[5]。整體缺陷在橋跨范圍內沿拱肋均有分布,目前關于拱橋的整體缺陷的分析方法多采用一致缺陷模式法[3,4],實際工程中的幾何缺陷分布具有很大的隨機性[6,7],筆者采用隨機缺陷模式法描述幾何缺陷,并得到相關的分布方式。局部缺陷是指拱肋的某個部位存在局部的初始撓度,主要由節段的初始連接不當和局部損傷造成,它對穩定性的影響在目前已有文獻中研究較少。

大跨拱橋考慮幾何缺陷時其穩定性能必將受到影響,不同分布方式和大小的整體將使得拱橋的承載能力有一定程度的下降,局部缺陷所處的位置和大小對拱橋穩定性的影響目前尚不清楚。基于此,本章從拱橋的兩類穩定問題出發,研究大跨度拱橋中幾何非線性、材料非線性和初始幾何缺陷對穩定性能的影響,探討大跨拱橋在考慮各種幾何缺陷時的屈曲特性和承載能力。

1 大跨度拱橋的穩定性理論

拱橋的穩定性分析有分支點失穩和極值點失穩兩類受力性質根本不同的失穩形式,對應有線彈性屈曲分析和非線性極限承載能力分析兩種求解方法。前者假定結構失穩時處于線彈性范圍之內,結構內力與外荷載成比例關系,將穩定分析轉化為求解特征值問題,得出的最小特征值就是臨界穩定系數;后者則采用考慮了結構非線性的有限元法來求解大跨拱橋的穩定問題,它通過結構從加載開始到失穩全過程的響應,得出結構的荷載位移曲線,求解極限承載能力。線性屈曲分析概念清楚,計算簡便,它可以預測拱結構屈曲的上限;非線性的極限承載能力分析則可以考慮結構的幾何、材料非線性和幾何缺陷等因素的影響,計算準確,精度高。由于這兩類分析方法各自的優點以及兩類穩定之間良好的相關性,本文采用這兩種方法來分析大跨度拱橋考慮幾何缺陷時的穩定性能。

UL列式下總體坐標系下結構的增量有限元平衡方程[8]為:

式中:

其中[tK0]和[tKσ]分別為結構的彈性剛度矩陣和幾何剛度矩陣;{t+ΔtQ}為外荷載等效節點力向量;{tF}為單元應力的等效節點力向量;[tBL]和[tBNL]分別為格林應變的線性部分和非線性部分與位移的轉換矩陣;[D]是材料矩陣;[tτ]和{tτΛ}分別為Cauchy應力矩陣和向量，這些元素都是對應時間t位形；tV是t時刻的體積。

1.1 線彈性屈曲分析

在式(1)中如果不考慮荷載項，且以初始荷載作用產生的單元內力來計算幾何剛度矩陣，則有：

式中結構坐標系下的彈性剛度矩陣和幾何剛度矩陣均在初始未變形的結構位置建立。拱結構存在分支失穩時,上式有非零解且結構有分支位移產生,其左端剛度矩陣的行列式必為零,即有:

由上式計算得到的最小特征值λmin即為臨界荷載安全系數,這樣結構的線彈性屈曲分析就轉換成了求最小特征值問題。

1.2 非線性穩定分析

拱橋的非線性穩定分析可采用一定的計算方法直接對式(1)進行求解,得到結構從加載直至失穩的響應全過程,荷載-位移曲線上的最大荷載值就是結構的極限荷載。在求解過程中,若只考慮幾何非線性因素,則得出彈性大位移穩定極限荷載,而同時考慮幾何與材料非線性影響,就可求出結構的彈塑性大位移穩定極限荷載。大跨度拱橋考慮幾何缺陷的極限荷載求解必須考慮非線性因素,本文分析拱橋的非線性穩定時分別計算彈性大位移和彈塑性大位移穩定承載能力,并進行對比分析。幾何非線性分析通過UL列式基礎上采用增量法和弧長法相結合進行迭代來實現,材料非線性則采用高斯積分法實現。

高斯積分法在單元的截面上和軸向取一定數量的高斯點,對每個高斯點根據其應力和應變狀態進行數值積分,形成單元剛度矩陣,可方便計算結構的彈塑性剛度矩陣和等效節點力,用較少積分點達到較高精度。每個積分點的被積函數[Bi]T[D][Bi]按彈性或彈塑性計算,然后按全單元數值積分即可得到單元的彈塑性剛度矩陣[Kep],即:

其中ng是高斯積分的點數;分別為形函數和自然坐標與笛卡爾坐標之間的亞克比轉換矩陣在高斯積分點的取值。

2 結構計算模型及幾何缺陷的分布

2.1 結構計算模型

如圖1-a所示的某下承式鋼管混凝土系桿拱橋,主跨計算跨徑為125 m,計算矢高為25m,橋面凈寬25m;拱軸線為二次拋物線,拱肋采用啞鈴形截面鋼管混凝土,截面總高為2.6m,每個鋼管外徑為110 cm,鋼管及腹板壁厚為2 cm,內充50號微膨脹混凝土;橋兩側各布置有8束27×Φj15(7φ5)高強鋼絲作為系桿;吊桿間距為7m,上端錨固于拱肋頂部,下端錨固于橫梁底;橫梁、縱梁以及蓋梁采用預應力混凝土結構,混凝土采用30號,橋面系和拱肋相交處設置端橫梁;橫撐由拱頂處1道X字形橫撐和順橋向每邊2道橫撐組成;橋面板采用高度為35 cm的預制空心板。

設計荷載標準為城-A級,人群3.5 kN/m2。在對下承式鋼管混凝土系桿拱橋進行穩定性分析時,結構的自重荷載保持不變,橫梁、縱梁以及橫撐按實際截面輸入;橋面系不按實際情況考慮,而是將橋面板、橋面鋪裝和橋面的活載視為均布線荷載施加在橫梁上面。穩定性分析考慮的工況為恒載+橋面系的活載布置,非線性穩定分析通過不斷加大橋面的活載布置使結構拱橋的主要承重結構達到極限荷載。

圖1 下承式鋼管混凝土系桿拱橋及幾何缺陷

2.2 材料本構關系的選取

鋼管混凝土的本構關系采用統一理論[9]考慮,將鋼管混凝土視為鋼管和混凝土組合而成的單一材料,其多線性隨動強化的軸向應力—應變關系如圖2所示。ξ和ξ0分別為鋼管混凝土約束效應系數及其設計值,ξ=Asfv/Acfc,其中As,Ac分別為截面中鋼材與混凝土面積;fv和fc分別為鋼材屈服強度和混凝土抗壓強度設計值。當ξ≥ξ0時曲線分為彈性(OA)、彈塑性(AB)與強化(BC)3個階段;而在ξ＜ξ0時,曲線可分為彈性(OA)、彈塑性(AB)、強化(BC′)與下降(C′D)4個階段。圖2中彈性模量、強度及應變指標由以下各式確定。

鋼管混凝土軸壓組合強度標準值fscv:

式中:A=1.212;B=0.974+0.175 9?fv/235;C=0.030 9-0.103 8?fck/20;fv為鋼材屈服點;fck為混凝土軸心抗壓強度標準值;ξ為套箍系數。軸壓組合比例極限fscp和比例應變εscp分別為:

本文鋼管混凝土的屈服強度fscv為63.04MPa,fscp為48.53MPa,抗壓彈性模量Esc為:

在彈塑性階段,假定切線模量Esct按二次拋物線變化,且有:

鋼材應力-應變曲線采用理想彈塑性模型,鋼材的屈服應力和屈服應變分別為σv和εv。

圖2 鋼管混凝土的本構關系

2.3 整體缺陷的分布

拱橋的整體幾何缺陷在拱跨范圍內均有分布,它既可以采用一致缺陷進行描述,也可以采用隨機缺陷進行描述。前者通過某種事先假定的幾何外形來模擬結構的初始缺陷,后者則基于隨機理論得到結構的隨機幾何缺陷分布方式。

已有文獻[3,4]大多采用屈曲模態模擬缺陷的一致描述方法來考慮大跨拱橋中幾何缺陷的分布,這種方法將大跨拱橋特征屈曲分析得到的屈曲模態作為幾何缺陷模式,施加到結構上用以模擬缺陷。這是由于特征矢量屈曲形狀是最接近于實際屈曲模態的預測值,而且特征屈曲荷載作為非線性屈曲荷載的上限,可作為施加初始缺陷或擾動載荷的根據。同時由于屈曲模式是結構潛在的位移趨勢,如果拱橋結構的初始缺陷分布恰好與其屈曲模態吻合,將對結構的穩定性產生最不利的影響。

大跨度拱橋的拱肋在各個環節中由于各種原因產生的初始撓度具有很大的隨機性,基于隨機理論考慮這些幾何缺陷影響的方法中,可以將實測得到的初撓度分布進行調和分析,然后計算極值點屈曲荷載;或者將隨機理論的方法用于分析任意分布的初撓度對屈曲的影響,建立屈曲荷載與隨機初撓度譜密度間的關系。但前者只能針對已建成的拱橋且實測工作量很大,后者公式推導繁雜,最后得到的也不是最不利的失穩形式。本文通過一種新的隨機方法分析拱的初始幾何偏差,此方法將幾何缺陷導致的節點坐標偏差視為隨機變量,通過節點之間一定的相關性確定結構的條件相關矩陣,并分解得到按可能性大小排列的隨機缺陷分布方式。拱結構中隨機分布的節點坐標偏差用平均值、方差以及一定程度的相關性描述,為分析方便坐標偏差假定為正態分布且有相同的數學期望和方差,節點之間的聯系以含相關長度參數γ的指數相關函數考慮。令u=[z1,z2,Λ,zn]T為n維隨機變量來模擬結構的節點坐標偏離向量,設0和1為拱的邊界條件,z和z′表示拱結構(0,1)中的兩個隨機點,隨機變量均為正態分布且方差均為σ2,z和z′之間的協方差可表示為:

其中ρ(z,z′)為z和z′的相關系數,假定z和z′為指數相關,且其相關系數函數為:

式中γ為相關長度參數,支撐邊界確定的拱結構中,z和z′的條件協方差可寫為:

由上述條件得到的條件相關矩陣Czz可以表示為:

其中,特征向量Ψ即為幾何缺陷的分布方式,在實際分析時只選取前幾階影響較大的缺陷。圖3給出了圖1-a所示系桿拱橋通過條件相關矩陣分解得到的前三階隨機幾何缺陷中拱肋軸線在平面內的偏差示意圖。

圖3 隨機整體缺陷下拱肋軸線偏差示意圖

本文分析大跨度拱橋在考慮幾何缺陷的穩定性時,采用一致和隨機兩種方法模擬幾何缺陷的整體分布,分布方式包括特征矢量屈曲形狀和按隨機理論得到的前三階隨機分布方式。將這兩種描述所得結論進行對比分析,并與無缺陷拱的結果進行比較,確定缺陷的最不利方式以及對結構穩定性能造成非常不利影響的幅值大小。

2.4 局部缺陷的分布

大跨度拱橋的拱肋存在局部幾何缺陷時,必將對吊桿間拱肋的局部穩定產生影響。目前研究局部缺陷較多的是柱[10]和板[11]結構,現行的規范均對這些構件的整體及局部初始撓度作了限制以避免出現缺陷降低構件的承載能力。而拱肋存在局部缺陷時結構穩定性的研究現在鮮有文章涉及,拱肋初始局部撓度的大小和位置與承載能力之間的具體關系尚不清楚。針對這一問題本文假定拱肋存在一定的局部缺陷,研究它對拱橋結構穩定性能的影響,這種初始撓度假定沿拱肋呈正弦形式分布,如圖1所示,考察它在拱肋不同位置和大小時拱橋的屈曲特性和承載能力。

3 計算分析

3.1 整體缺陷的影響

拱結構整體幾何缺陷的分布包括特征屈曲形狀缺陷和前三階隨機分布缺陷,這些初始幾何缺陷的有限元考慮方法是對完善拱結構進行坐標重新修正。將每種缺陷的幅值取相同值用以比較分布方式對拱橋結構穩定性的影響;另外對于某種確定的缺陷不斷變化其缺陷幅值觀察它對結構穩定性的影響,并判定使得結構失穩的缺陷幅值。

表1給出了缺陷幅值取為L/1 000情況下,即取缺陷幅值為12.5 cm時,拱橋結構含有這4種缺陷時的穩定系數計算結果。從中可以看出在各種不同分布方式幾何缺陷下,彈性大變形即僅考慮幾何非線性的穩定系數與線彈性情形相差不大,而同時考慮幾何、材料非線性的彈塑性大變形穩定系數則明顯下降,這說明了在拱橋的穩定性計算過程中材料非線性是主要的因素,它使結構的承載能力明顯下降。另一方面,雖然各種缺陷的幅值均取為L/1 000,但是不同的分布方式對穩定系數影響不同,其中特征屈曲形狀缺陷和二階隨機缺陷對拱結構的穩定性影響最為不利,在彈塑性大變形分析中,二階隨機缺陷可使得穩定系數相對無缺陷情形下降15.5%。為了比較這4種缺陷在其幅值發生變化時拱橋的穩定性能,圖4給出了缺陷幅值在變大的情況下拱橋彈性大位移穩定系數的分布規律,從中可以看出缺陷幅值達到一定的程度時,安全系數下降明顯,其中尤以特征屈曲形狀缺陷和二階隨機缺陷影響最大,當幅值為L/500時這兩種缺陷使得安全系數下降了近50%,而一階隨機缺陷和三階隨機缺陷對穩定系數的影響則比這兩種缺陷小得多。特征屈曲形狀和二階隨機缺陷外形比較相似,與結構的潛在位移趨勢接近,因而對結構穩定性能影響非常不利,計算結果也很好地說明了這一點。特征屈曲形狀缺陷是按照屈曲模態與結構位移趨勢相似得到的,而二階隨機缺陷則是基于隨機理論得到的,與它們類似的整體幾何缺陷外形是拱結構的最不利缺陷分布方式。

表1 不同缺陷大跨拱橋穩定系數

從圖4還可知各種缺陷在其幅值處于一定的范圍之內時安全系數與無缺陷拱相比變化均較小,而當缺陷幅值進一步增大時缺陷的影響明顯加大。計算結果表明各種缺陷在其幅值小于L/1 000時可以不考慮它對穩定性能的影響。為了說明缺陷增大時拱橋考慮缺陷影響的穩定性,圖5給出了二階隨機缺陷在不同幅值下拱頂的彈性大位移荷載-位移曲線,從中可看出缺陷增大時承載能力有一定的下降,缺陷幅值越大下降越明顯,因而將缺陷大小控制一定的范圍內對于保證穩定性極為必要,計算顯示缺陷幅值小于L/1 000時含缺陷拱橋的承載能力與無缺陷拱差別不大。

3.2 局部缺陷的影響

對于在拱肋上正弦形式分布的局部幾何缺陷,為研究它對局部失穩特性的影響,圖6給出了局部缺陷分布在不同的位置時拱橋的彈性大位移穩定系數,其中缺陷幅值為吊桿間距的1/1 000,吊桿間的局部缺陷考慮分布于拱肋上和拱肋下兩種情形,其計算結果與無缺陷時穩定系數進行了對比。計算結果顯示局部缺陷的位置對穩定性有一定程度的影響:較為敏感的位置位于拱腳和跨中,當局部缺陷分布在這些位置時考慮缺陷的穩定系數與無缺陷情形的差別較大;而當局部缺陷位于拱跨徑的1/4附近時缺陷的影響很小。另外由圖6還可看出局部缺陷在拱肋同一位置而分別位于拱肋上方和下方時,局部缺陷的影響程度基本相同,但是它們使得穩定系數變化趨勢恰好相反。不過從整體上來說,不論局部缺陷的位置如何,穩定系數相對無缺陷情形變化程度還是相當小的,缺陷的影響均在1%內。

圖4 不同缺陷幅值下的非線性穩定系數

圖5 二階隨機缺陷下的拱肋荷載-位移曲線

為分析局部缺陷大小對穩定性能的影響,圖7給出了局部缺陷取不同幅值時拱肋的彈性大位移荷載-位移曲線,其中局部缺陷的分布位置取為圖1-c中編號為1位置的拱肋下方和編號為7位置的拱肋上方。圖7的計算結果表明不同缺陷幅值下拱頂的荷載-位移曲線幾乎完全重合,局部缺陷的大小基本上不對拱橋的承載能力產生影響,因此可得出在計算大跨拱橋的穩定性和承載能力時可以不用考慮拱肋局部缺陷影響的結論。

圖6 不同局部缺陷位置的非線性穩定系數

圖7 局部缺陷幅值變化時拱肋荷載-位移曲線

3.3 拱橋的失穩特性

在分析大跨拱橋的穩定性時,結構的非線性是必需考慮的因素。為此圖8給出了拱頂的荷載-位移曲線分別按照線彈性、彈性大位移和彈塑性大位移3種情況的計算結果,其中整體幾何缺陷按照隨機分布方式2施加,缺陷幅值為L/1 000,局部缺陷不予考慮。計算結果顯示在3種分析方法中,線彈性分析方法所得極限荷載最大,僅考慮幾何非線性的彈性大位移分析方法次之,同時考慮幾何、材料非線性影響的彈塑性大位移分析方法最小,所以在實際大跨拱橋中線性方法和僅考慮結構幾何非線性的方法均過高估計結構的承載能力,穩定性計算偏于不安全,在計算拱橋的極限承載能力時必須考慮材料非線性。

圖8 特征屈曲缺陷下拱肋荷載-位移曲線

圖9則給出了在彈塑性大位移分析過程中,塑性區域的出現順序及分布位置。荷載從0增加到43.5 kPa的過程,即圖9所示的加載階段1,整個結構處于彈性階段,拱肋沒有塑性區域的分布;荷載從43.5 kPa變大至62.1 kPa時,這一階段結構的靜力非線性分析應考慮幾何非線性;當荷載超過62.1 kPa時,左端拱腳上緣拱肋進入彈塑性狀態,對應圖9所示加載階段2;而當荷載增至83.2 kPa時,左端拱腳處拱肋的上緣已進入塑性屈服狀態,下緣則進入了彈塑性狀態,同時1/4處拱肋上緣也開始出現塑性區域分布,如圖9所示加載階段3;當施加荷載達到95.7 kPa后,拱腳處上、下緣的塑性區已經貫通,形成一個塑性鉸,拱肋1/4處的塑性區擴大;當荷載進一步增大時,拱肋的塑性區域繼續增加,結構位移迅速增大,直至結構發生失穩破壞。

圖9 極限加載過程的拱肋塑性區域位置

4 結論

本文在進行大跨度拱橋穩定性分析時,考慮了幾何缺陷、幾何非線性和材料非線性等因素的影響,幾何缺陷的分布從整體和局部上分別考慮,整體缺陷包括由隨機和一致兩種分布方式,局部缺陷通過吊桿間拱肋的局部初撓度考慮,得出了以下結論:

1)沿拱肋分布的各種整體幾何缺陷,當其幅值小于跨徑的1/1 000時,可以不用考慮整體缺陷的影響。特征矢量屈曲形狀和二階隨機分布方式的缺陷對結構的穩定性能影響最大,在其幅值達到一定程度時結構承載能力有明顯的下降,它們是穩定性分析必須考慮的影響因素。

2)對于局部缺陷,通過計算發現存在缺陷時拱橋的穩定系數雖然和無缺陷拱橋存在差異,但是缺陷的影響很小,局部缺陷位于拱肋不同位置時非線性穩定系數相差不到1%,而且局部缺陷的幅值增大時,缺陷對拱肋的荷載-位移曲線的影響基本上可以忽略。

3)通過計算發現線彈性和僅考慮幾何非線性的分析方法會過高估計結構的承載能力,大跨拱橋的穩定性分析必須考慮材料的非線性因素。考慮材料非線性的彈塑性大位移分析時,拱肋的塑性區首先出現在拱腳位置上緣,達到極限荷載時分布區域包括整個拱腳與1/4拱肋的上緣。

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