空間幾何體和三視圖透視

●何豪明 (衢州高級中學 浙江衢州 324006)

空間幾何體和三視圖透視

●何豪明 (衢州高級中學 浙江衢州 324006)

1 考試要求

(1)了解與正方體、球有關的簡單組合體的結構特征,理解柱、錐、臺、球的結構特征;

(2)能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖,會用斜二測法畫出它們的直觀圖;

(3)會用平行投影與中心投影這 2種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式;

(4)能識別三視圖所表示的空間幾何體,理解三視圖和直觀圖的聯系,并能進行轉化;

(5)會計算球、柱、錐、臺的表面積和體積 (不要求記憶公式).

2 考點回顧

統計 2010年全國數學高考新課程文、理科試卷共 25份,其中有 18份試卷中考查了三視圖的內容(9份試卷在選擇題中考查,8份試卷在填空題中考查,1份試卷在解答題中考查),主要考查幾何體的表面積與體積(有 11份試卷).例如浙江省數學高考文、理科試題考查了簡單組合體(四棱柱和四棱臺)的三視圖,并求其體積;廣東省數學高考文、理科試題考查了簡單組合體(正三棱柱和三棱錐),并求其正視圖;新課標全國數學高考試題考查了正視圖為一個三角形的幾何體;北京市數學高考文、理科試題考查了一個長方體去掉一個小長方體的主視圖和左視圖,并求其俯視圖;安徽省數學高考理科試題考查了簡單組合體(2個長方體)的三視圖,并求其表面積;陜西省數學高考理科試題考查了直三棱柱的三視圖,并求其體積;福建省數學高考理科試題考查了正三棱柱的主視圖,并求其表面積等.

3 命題走勢

從考點回顧可以看出,考查空間幾何體(及其簡單組合體)的三視圖、體積和表面積是高考命題的重點,同時要注意空間幾何體展開圖的考查和開放探索型問題的考查等.這類題目屬中等偏易題,題型多以選擇題、填空題為主,也有出現在解答題中.譬如 2009年廣東省數學高考文科試題、2010年上海市數學高考文科試題.考查的重點是空間想象能力.

4 典例剖析

結合考點回顧,高考中對三視圖的考查方式主要包括以下 4個方面.

4.1 給出幾何體,考查三視圖的畫法

例 1 如圖 1,■ABC為正三角形 ,A A′∥B B′∥C C′,C C′⊥平面ABC,且 3A A′=B B′=C C′=AB,則多面體 ABC-A′B′C′的正視圖(也稱主視圖)是( )

圖1

(2010年廣東省數學高考試題)

分析該多面體是由一個正三棱柱和一個四棱錐拼接而成的.故選 D.

評注本題以三視圖為載體,考查空間想象能力.解題時要對主視圖的觀察方法有清晰的認識,此類問題有向中檔難度發展的趨勢.

4.2 給出幾何體的三視圖,考查表面積、體積

圖2

例 2 若一個棱錐的三視圖如圖 2所示,則該棱錐的全面積(單位:c m2)為 ( )

(2009年寧夏、海南數學高考試題)

分析該棱錐的直觀圖是底面邊長為 6 c m、高為 4 c m的正四棱錐,以其頂點和底面對角線為截面截去一半而剩下的部分(三棱錐).其底面是腰長為 6 c m的等腰直角三角形,面積是 18 c m2,斜邊所在的側面三角形的高為 4 c m,直角邊所在的側面三角形的高為 5 c m,因此側面面積是 30+12c m2.故選 A.

評注本題主要考查簡單幾何體三視圖的識別及多面體表面積的計算,考查空間想象能力.

4.3 給出幾何體三視圖的一部分,考查其他視圖

圖3

例 3如圖 3所示的圖形是由若干個小正方體所疊成的幾何體的側視圖與俯視圖,其中俯視圖的小正方形中的數字表示該幾何體在同一位置上疊放的小正方體的個數,則該幾何體的正視圖是( )

分析從俯視圖可以看出,該幾何體從右到左分別可以看到 3,2,1塊小正方體.故選 A.

評注通過三視圖考查空間想象能力.

4.4 融合其他知識綜合考查

例 4某幾何體的一條棱長為,在該幾何體的正視圖中,這條棱的投影是長為的線段,在該幾何體的側視圖與俯視圖中,這條棱的投影分別是長為 a和 b的線段,則 a+b的最大值為 ( )

(2008年海南、寧夏數學高考理科試題)

分析由三視圖的定義,棱長為的棱作為長方體的體對角線,,a,b為該長方體從一個頂點出發的 3個面的面對角線,則

當且僅當 a=b時,等號成立.

評注本題主要考查對三視圖的理解以及不等式最值的求法,綜合考查靈活應用所學知識解決實際問題的能力.

例 5如圖 4,已知一個三棱錐的 3個三視圖的輪廓都是邊長為 1的正方形,求此三棱錐外接球的表面積.

圖4

分析因為符合條件的三棱錐是各條棱長均為的三棱錐,把此三棱錐補成正方體,則此正方體的棱長為 1,其外接球(也是三棱錐的外接球)的直徑就是正方體的體對角線,所以此三棱錐外接球的表面積是 3π.

評注本題主要考查數學美(把正四面體、正方體和球的圖形集于一題)在三視圖中的應用,考查補體的數學思想方法、對稱的數學思想方法等.

精題集粹

1.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖 5所示的一個正方形,則原來的圖形是 ( )

圖5

3.若等腰直角三角形的直角邊長為 3,則以一直角邊所在的直線為軸旋轉一周所成的幾何體體積是＿＿.

圖6

4.如圖 6是一個正方體的展開圖,在原正方體中,相對的面分別是＿＿.

5.如圖 7所示為長方體木塊堆成的幾何體的三視圖,此幾何體共由＿＿ 塊木塊堆成.

圖7

圖8

6.設某幾何體的三視圖如圖 8所示(尺寸的長度單位為 m),則該幾何體的體積為＿＿m3.

參考答案

1.A 2.長方體、圓柱和正四棱錐等 3.9π 4.①與④,②與⑥,③與⑤ 5.4 6.4