論空間角和距離的計算問題

●嚴興光 (西湖高級中學 浙江杭州 310002)

論空間角和距離的計算問題

●嚴興光 (西湖高級中學 浙江杭州 310002)

1 考試要求

(1)能借助空間幾何體內的位置關系求空間的夾角和距離;

(2)會用向量方法解決異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的計算問題,了解向量方法在研究幾何問題中的作用.

2 高考回顧

空間角與距離作為立體幾何的主干內容,歷來是高考的熱點問題之一.從近 2年的高考試題看,浙江卷在立體幾何解答題的設計上,雖然以考查基礎為主,但也有一些新動向.試題背景與設問方式都力求創新,2009年高考解答題與線性規劃問題相結合,2010年立體幾何解答題以平面圖形的翻折為背景,與生活很貼近,體現了數學的應用性,設問方式也有較大變化.在命題風格上,正逐步由封閉性向靈活性、開放性、探索性問題轉變,對學生的能力也提出了更高的要求.其中角度的計算仍以線線角、線面角、二面角為主要內容,距離仍以點面距為主.

3 命題走勢

空間的夾角和距離問題是立體幾何的核心內容,筆者預測 2010年高考對本內容的考查還將側重空間向量的應用.課本雖然淡化了利用空間關系找角、求距離這方面內容的講解,加大了向量應用的內容,但是有時必需適當地借助空間關系找角.例如2010年四川省數學高考理科試題第 15題:

圖1

本題難度不大,但不能用建立坐標系的方法求解.如果在教學中一味地強調坐標法求角,那么在考試中的得分一定不會高.

4 典例剖析

題型 1空間角的計算

空間角的計算主要包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角的計算.

例 1如圖 2,在五棱錐 P-ABCD E中,P A⊥平面 ABCD E,AB∥CD,A C∥E D,A E∥BC,∠ABC=45°,AB=2BC=2A E=4,△P AB是等腰三角形,求直線 P B與平面 P CD所成角的大小.

(2010年山東省數學高考理科試題)

解法 1因為△P AB為等腰三角形,所以

圖2

圖3

評析本題以五棱錐為背景,主要考查空間中的基本關系,線面垂直、面面垂直的判定以及線面角和幾何體體積的計算,考查識圖能力、空間想象能力和邏輯推理能力.求線面角問題一般可以采用幾何法和向量法求解.利用幾何法的關鍵是作(找)出線面所成的角;利用空間向量的關鍵是建立適當的坐標系.同時,還要注意用向量求線面角時向量所成的角與線面所成的角之間的關系.

例 2如圖 4,正方形 ABCD和四邊形 A C E F所在的平面互相垂直,C E⊥A C,E F∥A C,AB=C E=E F=1.求二面角 A-BE-D的大小.

(2010年北京市數學高考理科試題)

分析本題中有明顯的三維垂直關系,因此建立空間直線坐標系解題是簡單、快捷的辦法.尋找垂直關系,建立合適的數量積關系是本題求解的關鍵.

圖4

圖5

評析在用法向量的方法處理二面角的問題時,將傳統求二面角問題時的三步曲:“找—證—求”直接簡化成了一步曲:“計算”.這表面上似乎淡化了學生的空間想象能力,但實質不然.向量法對學生的空間想象能力要求更高,也更加注重對學生創新能力的培養,體現了教育改革的精神.

此法在處理二面角問題時,可能會遇到二面角的具體大小問題.譬如,本題中若取 n=(0,-1,-2),則

題型 2空間距離的計算

空間距離的計算主要是點到面的距離的計算.

例 3如圖 6,△BCD與△MCD都是邊長為 2的正三角形,平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平面BCD,AB=2

(1)求點 A到平面 M BC的距離;

(2)求平面 A C M與平面 BCD所成二面角的正弦值. (2010年江西省數學高考理科試題)

解(1)取 CD的中點 O,連結 OB,O M,則OB⊥CD,O M⊥CD.由平面 MCD⊥平面 BCD,得MO⊥平面 BCD,于是 MO∥AB,從而點 A,B,O,M共面.延長 AM,B O相交于點 E,則∠A E B就是 AM與平面 BCD所成的角.又 OB=MO=3,MO∥AB,MO∥面 ABC,M,O到平面 ABC的距離相等,作O H⊥BC于點 H,連結 M H,得 M H⊥BC,則

利用體積相等,即 VA-MBC=VM-ABC,得

圖6

(2)C E是平面 A C M與平面 BCD的交線.由第(1)小題知,點 O是 BE的中點,則BC E D是菱形.作 BF⊥EC于點 F,連結 AF,則 AF⊥EC,∠AF B就是二面角 A-EC-B的平面角,設為 θ.因為 ∠BC E=120°,所以

評析用幾何方法求解問題要注意輔助線的處理,一般采用射影、垂線、平行線等特殊位置的元素解決.向量方法作為溝通代數和幾何的工具在考查中越來越常見,此類方法的要點在于建立恰當的坐標系.便于計算,位置關系明確,以計算代替分析,起到簡化的作用,但計算必須慎之又慎.

精題集粹

1.在三棱柱 ABC-A1B1C1中,各棱長相等,側棱垂直于底面,點 D是側面 B B1C1C的中心,則 A D與平面 B B1C1C所成角的大小是 ( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

2.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面邊長都相等,A1在底面 ABC上的射影為 BC的中點,則異面直線 AB與 C C1所成角的余弦值為 ( )

圖7

圖8

(1)求證:C1B⊥平面 ABC;

(2)試在棱 C C1(不包含端點 C,C1)上確定一點 E的位置,使得 E A⊥E B1(要求說明理由).

(3)在第(2)小題的條件下,若 AB=2,求二面角 A-EB1-A1的平面角的正切值.

參考答案

1.C 2.D 3.90°

(3)解取 E B1的中點 D,A1E的中點 F,B B1的中點 N,AB1的中點 M.連結 DF,則 DF∥A1B1;連結 DN,則 D N∥BE;連結 MN,則 MN∥A1B1;連結MF,則 MF∥BE,且 MNDF為矩形,M D∥A E.又由A1B1⊥E B1,BE⊥E B1,得∠M D F為所求二面角的平面角.在 Rt△DFM中,