簡論高考中的分類討論思想

●熊豐羽 (寧波中學 浙江寧波 315004)

簡論高考中的分類討論思想

●熊豐羽 (寧波中學 浙江寧波 315004)

分類討論是科學研究中的基本邏輯方法,也是一種重要的數(shù)學思想.它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想和歸類整理的方法,對發(fā)展人的邏輯思維有著重要的幫助.因此,分類討論的思想方法在高考試題中占有重要的位置.

1 考查要求

《考試大綱》指出:“高考對數(shù)學思想方法的考查是對數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括的考查,考查時必須與數(shù)學知識相結(jié)合,通過對數(shù)學知識的考查,反映考生對數(shù)學思想方法的掌握程度”.以上闡述表明,高考對知識的考查是顯性的,對思想方法的考查則是隱性的,它以知識為載體,蘊含在知識的背后.對分類討論思想的考查主要體現(xiàn)在 2個方面:是否有分類討論的直感意識和判斷;能否根據(jù)掌握的知識對問題進行合理分類.

2 考點回顧

縱觀歷年考題可以發(fā)現(xiàn),分類討論思想是高考必考的內(nèi)容.以近 3年浙江省數(shù)學高考理科試題為例,涉及分類討論的題目有:2008年第 15,21題;2009年第 16,22題;2010年第 14,17,22題.題量一般包括 1至 2個中檔難度的客觀題和 1個較難的解答題.從考查內(nèi)容看,對分類討論思想的考查常以函數(shù)、數(shù)列、不等式、排列組合、解析幾何等為載體.其中,含參數(shù)的函數(shù)與導數(shù)問題是考查的熱點,近 3年都出現(xiàn)在位置比較靠后的解答題中.

3 典例剖析

3.1 由概念引起的分類討論

某些概念、性質(zhì)、定理的分類定義會引發(fā)分類討論.常見的有:直線斜率的定義,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底數(shù),等比數(shù)列求和公式,絕對值等等.

(2009年山東省數(shù)學高考試題)

分析 設函數(shù) y=ax(a＞0,a≠1)和函數(shù) y=x+a,則函數(shù) f(x)=ax-x-a(a＞0,a≠1)有 2個零點,就是函數(shù) y=ax(a＞0且 a≠1)與函數(shù) y=x+a有 2個交點.由圖像可知當 0＜a＜1時只有 1個交點,不符合題意;當 a＞1時,因為函數(shù) y=ax(a＞1)的圖像過點(0,1),而直線 y=x+a所過的點一定在點(0,1)的上方,所以一定有 2個交點.故實數(shù) a的取值范圍是 a＞1.

評析能夠順利解決該問題的關鍵有 2點:一是將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為 2個函數(shù)圖像交點的問題;二是對指數(shù)函數(shù)的圖像特征有清晰地認識,分a＞1,0＜a＜1這 2種情況進行討論.

例 2設 a為實數(shù),函數(shù)

評析 含絕對值的函數(shù)在浙江省數(shù)學高考試題中頻頻出現(xiàn).去絕對值符號是解決這類問題的常規(guī)思路,通過去絕對值符號,將一個比較難解決的問題分成幾個比較簡單的問題分別解決.本題去絕對值符號后函數(shù)成為一個分段函數(shù),分別求出每一段的最小值,通過比較最后得到函數(shù)的最小值.

3.2 圖形的不確定性引起的分類討論

圖形的不確定性往往也會成為引起分類討論的原因,例如某些函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的圖像特征有所不同,某些立體圖形的不同展開方式等.

因此 f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞減.

評析含參一元二次不等式的討論問題是常見的題型,而引起討論的原因主要是當參數(shù)發(fā)生變化時,相應一元二次函數(shù)的圖像也發(fā)生變化.只有搞清了引起討論的原因,才有可能正確地進行分類討論.此題中的討論分多個層次,應將邏輯關系理順,先討論不等式的類型,再討論二次項系數(shù)的正負(即相應二次函數(shù)的開口方向),最后討論 2個端點的大小關系.

3.3 排列組合中的分類討論

例 4 現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌 5名同學參加上海世博會志愿者服務活動,每人從事翻譯、導游、禮儀、司機這 4項工作之一,每項工作至少有 1個人參加.甲、乙不會開車但能從事其他 3項工作,丙、丁、戌都能勝任 4項工作,則不同安排方案的種數(shù)是＿＿.

(2010年湖北省數(shù)學高考試題)

分析 由于甲、乙不能從事司機工作,因此可以就司機工作參加的人數(shù)進行分類討論.

評析分類計數(shù)原理是計數(shù)問題的基本原理,因此在解決排列組合問題時,分類討論幾乎是必不可少的,往往根據(jù)某些有特殊要求的元素或位置來進行.

3.4 涉及到整數(shù)或自然數(shù)問題的分類討論

精題集粹

1.從 0,1,2,3,4,5這 6個數(shù)字中任取 2個奇數(shù)和 2個偶數(shù),組成沒有重復數(shù)字的 4位數(shù)的個數(shù)為( )