高考最值(定值)問題巧解

●陳發志 毛偉民 (杭州市第十一中學 浙江杭州 310013)

高考最值(定值)問題巧解

●陳發志 毛偉民 (杭州市第十一中學 浙江杭州 310013)

近幾年來，隨著新課改高考的深入實施和不斷推進，以能力立意命題的指導思想日益凸顯．由于最值(定值)問題的綜合性強、解決方法靈活多樣，能很好地考查學生運用知識的能力、思維能力和創新意識，因此一直是各省、市高考命題的熱點．在考查內容上，最值(定值)問題涉及的知識點非常廣泛，涵蓋了函數、線性規劃、三角函數、向量、立體幾何、解析幾何等;在解法上，有代數式的變形變換、基本不等式、換元法、構造法等解決方法;在數學思想上，考查學生的分類討論、數形結合等基本思想．筆者對最值(定值)問題的考試要求、命題走勢及典型例題進行分析，例舉了幾種常見的最值(定值)題的解題策略，供讀者參考．

1 考試要求

最值(定值)問題屬于能力考查的范疇，在很多章節都有所涉及．因此，新課改高考注重在各部分模塊的聯結處和在知識網絡的交匯處命題．

《考試說明》對最值(定值)問題的考查滲透在以下的知識模塊中，體現了將知識、能力、素質融合在一起的考查目標:

(1)新課改教材在“函數的性質”這一章節中增設了最大值和最小值的定義，對學生的思維要求也從“直觀理解”提高到“抽象概括”．課程標準一方面嚴格限定了判斷最值的方法;另一方面加強了單調性在求最值問題上的應用，尤其突出了函數最值問題作為所有最值問題的本源地位．

(2)在解析幾何中，要求學生能利用直線、圓、圓錐曲線的方程解決一些簡單的問題，這些問題最后都回歸到最值問題的求解上．

(3)在三角函數的學習中，要求學生能借助圖像理解正、余弦函數的性質(單調性、最大和最小值等)，即要求學生具備數形結合的思想方法．

(4)要求學生會用基本不等式解決簡單的最值問題，能從實際情景中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，尋求最優解，從而解決簡單的函數最值問題．思維訓練上要求學生由一元函數最值問題上升到二元一次函數簡單的最值問題．

(5)在導數的應用上，更是凸顯最值問題的一般求解策略．明確要求會用導數求多項式函數的極大值以及給定區間上函數的最值，通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的應用．

2 考點回顧

翻閱近3年新課改省市的高考試卷，筆者發現最值問題的題型、內容基本相同，其中著重對2010年高考試卷中最值問題進行了匯總統計，整理了部分省市最值問題的考題分析，如表1．

表1 2010年高考最值問題考題分析

由表1不難發現，實行新課改高考以來，數形結合解決向量問題、基本不等式運用于最值問題的求解、線性規劃、不等式恒成立等都是熱點問題．而函數的綜合應用在各省市試卷中的出現，體現了高考命題“重基礎知識的同時重能力的考查”．

3 命題走勢

2011年是新課改高考深入實施的一年，在命題上將繼續在穩定中凸顯變化、在變化中追求創新，注重能力的考查和數學思維品質、數學本質的滲透．因此，最值問題作為對學生發散思維和創新思維考查的載體，一些熱點問題譬如線性規劃、向量運算與幾何意義、基本不等式應用、利用導數求最值等仍將是考查的重點．其中運用數形結合的思想解決向量問題，一直是近幾年浙江省數學高考的熱點問題，應該重點突破;線性規劃問題在夯實學生基礎的同時，通過變式訓練滲透思維品質的訓練;而函數最值問題作為最值問題的本源，應當重點訓練，尤其是關注函數模型在實際問題中的應用，提高學生的應用創新能力．

4 典例剖析

4．1 利用基本不等式求最值

圖1

圖2

評析多元函數問題尤其是2個變量的函數最值問題，可通過條件找出變量間的關系，然后利用基本不等式求解．

4．2 利用判別式求最值

4．3 利用曲線的參數方程求最值

分析 本題主要考查橢圓的方程、幾何性質、平面向量的數量積的坐標運算等，聯系橢圓的參數方程，可以將動點 P 的坐標用(2cosθ，sinθ)來表示，這樣只涉及一個變量，從而可轉化為三角函數的最值求解．

評析凡是涉及圓及橢圓上點的最值問題，一般可以轉化為參數方程，再結合三角函數求解，這樣會比較簡潔、巧妙．

4．4 利用線性規劃思想求最值

(2009年浙江省數學高考試題)

分析這是一道有關線性規劃的問題，其本質為在線性約束條件下求線性目標函數的最值問題．作出可行域，在可行域內考慮目標函數的最優解．

解作出x，y的可行域，分析知當x=2，y=0時，(2x+3y)min=4．

評析求解線性規劃問題的關鍵是作出可行域．

4．5 巧用換元法求最值

評析換元法在求解多元函數，尤其是形式復雜的多元函數有著特殊的作用．

4．6 利用柯西不等式求最值

評析利用柯西不等式證明的關鍵是將右邊配湊出定值或者能求其最值的表達式．

4．7 利用數形結合思想求最值

(2010年浙江省數學高考試題)

分析動態的向量問題，若能結合圖像，則往往能迅速找到突破點．該題若結合圖像，則不難發現|α|終點坐標的軌跡為與β起點、終點組成圓周角為60°的圓．

圖3

評析向量問題若結合其加減法的幾何意義，則可轉化為幾何問題，從而找到解題的切入點．

4．8 巧消變量得定值

評析解析幾何中涉及的變量為定值問題，應著手于巧設變量，通過合理運算化簡過程，將問題轉化為函數問題解決．

精題集粹

8．為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度(單位:cm)滿足關系:C(x)=(0≤x≤10)．若不建隔熱層，則每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．

(1)求k的值及f(x)的表達式;

(2)問隔熱層修建多厚，總費用f(x)達到最小?并求出最小值．

9．已知函數f(x)=x2－x，其圖像記為曲線C．

(1)求函數f(x)的單調區間;

(2)證明:若對于任意非零實數x1，曲線C與其在點P1(x1，f(x1))處的切線交于另一點P2(x2，f(x2))，曲線 C與其在點P2(x2，f(x2))處的切線交于另一點 P3(x3，f(x3))，線段 P1P2，P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別為S，S，則為12定值．

參考答案