“動手”學幾何
——簡談立體幾何教學中宜加強手工實驗操作

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(上虞市教研室 浙江上虞 312300)

“動手”學幾何
——簡談立體幾何教學中宜加強手工實驗操作

●陳堯明

(上虞市教研室 浙江上虞 312300)

先從一道2010年浙江省數學高考試題說起：

圖1

(1)求二面角A′-FD-C的余弦值；

(2)點M,N分別在線段FD,BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A′重合，求線段FM的長.

分析第(1)小題不難用傳統方法或者向量法求解.第(2)小題是翻折問題，觀察翻折之前和翻折之后的不變量，就可以找到解決問題的突破口.利用A′M=CM和A′N=CN，再在空間直角坐標系中就可以求出點M,N的坐標，從而求出線段FM的長度.

此題屬于中檔題.從學生的答題情況看，得分率并不高，不少學生對于第(2)小題束手無策，不知從何下手．筆者私下問過幾個考生，大多感覺圖形經過2次翻折后很難想象空間圖形是怎樣的，空間線段之間的數量關系自然無從談起，也就是說學生空間想象能力相當缺乏．在此,不禁要追問并反思我們的教學行為，為什么從小在積木堆里長大的學生通過若干年的課堂教學(尤其是高中教學)，空間想象能力反而弱化了呢？我們的教學方式是不是太形式化了？是不是被公理化體系“綁架”了呢？還美其名曰：提高學生的邏輯思維能力？

課標理念強調：“在數學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達，要強調對數學本質的認識，否則會將生動、活潑的數學思維活動淹沒在形式化的海洋里”.“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等數學學習方式．這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為教師引導下的‘再創造’過程”.

數學學習理應是學生自己的生活實踐，數學教學則更應與學生的生活充分地融合在一起.從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，向他們提供充分的從事數學活動和交流的機會，讓他們在自己的生活中尋找數學、發現數學、探究數學、認識數學和掌握數學，讓其置身于現實的問題情境之中，充分體驗數學就在我們身邊，從而增強學習的動力．幾何直觀能力是課標提出的立體幾何教學目標之一，直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算更是課標對立體幾何提出的教學要求.

在立體幾何課堂教學中，讓學生有意識地動手操作，比一比，量一量，折一折，做一做，讓學生在具體的操作情境中，理解幾何概念與性質的形成和發展，進而領悟數學的本質，提高課堂教學的實效性,這對當代學生顯得更有價值.那么目前立體幾何教學中學生實驗操作的現狀又如何呢？為此,筆者有意識地從當地隨機選取了2所高中就此問題作一調查.

調查問卷的結果不容樂觀.在“立體幾何哪一部分較難掌握”中,有39.7%的學生選擇了“點、線、面的位置關系”；在“根據敘述準確畫出圖形”中,有68%的學生選擇“有時要畫錯”，有16%的學生選擇“經常畫錯”；在平時考試中有31%的學生認為涉及空間想象時失分較多．在與任課教師的訪談中，他們深有感觸地說：“在講解異面直線時，學生畫不出異面直線的幾種常見形式，而且常常將異面直線畫成相交直線，將應該畫成虛線的地方畫成了實線”．

由此可見，幫助學生逐步形成空間想像能力，建立良好的空間觀念，是立體幾何教學的中心．那么如何建立良好的空間觀念呢？筆者以為在教學中不妨加強手工實驗操作．因為從數學本質上講，“數學是一個‘動態思維的實驗過程’，是數學真理的抽象概括過程，邏輯演繹體系則是這個過程的一種自然結果．在數學實驗的過程中，數學對象的豐富、生動且富于變化的一面才得以充分展示”.在此,筆者就立體幾何教學過程中如何加強手工實驗操作談談自己的幾點看法.

1 在認識空間幾何體的結構特征中加強手工實驗操作

三維空間是人類生存的現實空間.人們認識周圍的事物，常常需要通過描述事物的形狀、大小，并用恰當的方式表達事物之間的關系．通常采用直觀感知、操作確認來認識空間圖形.

學生在義務教育階段只是對圓柱(錐)體、正(長)方體有了一個初步的接觸和整體的了解.而在“認識空間幾何體的結構”這一節中，學生的整體認知的對象卻大大延拓了，不僅要認知它們的結構特征，而且還要求能畫出空間幾何體的三視圖、直觀圖，目的是培養學生的空間想象能力、幾何直觀能力、運用圖形語言進行交流的能力．因此在教學中若能從操作實踐角度入手，先布置學生用積木或紙板搭建各種類型的幾何體模型,從制作過程中認識相同類型的幾何體，讓學生體會“有6個面，12條棱，8個頂點”的“幾何體”并不一定是長(正)方體，還可能是一般棱柱或是平行六面體等等．然后,再引導學生進行深層次地觀察、比較、交流，引導學生思考空間幾何體的分類方法，分別指出柱、錐、臺、球的結構特征，逐步歸納并形成各種幾何體的結構概念框架．這樣以已有的知識和經驗為基礎，展示知識的形成過程，強調學習者的參與及對學習過程的體驗，不但能激發學生探求的興趣，而且還能使他們從被動學習變為主動吸收，增強了學生吸納應用知識的靈活性.

需要指出的是，在“認識空間幾何體的結構”這一節中,教材還設置了“觀察”、“思考”、“探究”等欄目，教師都應充分利用．同時,還應借助圖片、幻燈、計算機等多媒體向學生展示更多的具有典型幾何結構特征的空間物體，增強學生的直觀感.

2 在探究點、線、面的位置關系時加強手工實驗操作

為了讓學生對點、線、面的關系獲得清晰的直觀印象，傳統教學往往采用演示法.這在一些定理的闡述上顯得尤為明顯．盡管有的借助了現代化的教學手段——多媒體演示，有的還借助于一大堆教具，但這些“演示”，學生只能看，不能動手操作，直觀形象仍停留在形式上，點、線、面之間關系的難點仍未有效化解,學生的主體作用仍未突出，至于自主探究、開展合作學習、發展學生的個性品質就更不用說了.

數學教學是數學活動的教學，數學活動是數學思維的活動．一堂課是否成功，其中一個指標就是:學生有沒有主動的高水平的思維活動.筆者認為自主實踐活動應該成為課堂教學的主旋律.

案例1直線與平面垂直的判定定理

課本在研究直線與平面垂直的判定定理之前，設置了一個探究過程(以下摘自教科書):

如圖2，請同學們準備一塊三角形的紙片，我們一起來做一個試驗：

過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸)．

(1)折痕AD與桌面垂直嗎？

(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面α垂直？

圖2

圖3

圖4

可以說老教材在探究線面垂直判定定理時，采用的是發現式教學,教科書給出的“圖形”往往是“標準”的(如圖3).新課程提倡的是放手讓學生去做，去試驗，學生通過自己動手操作，親手“演示”，多角度、多側面、全方位的觀察、體驗和歸納，合情推理出線面垂直這一判定定理．也正因為放手讓學生翻折，只要能使翻折后的折痕所在直線與桌面所在的平面垂直就行，于是給學生的探究創設了廣闊的空間，學生的探究欲望強烈.

當然,對于較復雜的圖形可通過多媒體的動畫演示、旋轉，讓學生觀察到它們的位置關系，但應注意多媒體只能是教學的輔助手段，千萬不可為了多媒體而多媒體.

3 在具體的演繹推理中加強手工實驗操作

波利亞認為，“數學有兩個側面，它是歐幾里德式的嚴謹科學，但也是別的什么東西.由歐幾里德方法提出來的數學看來像是一門系統的演繹科學，但在創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學”．數學基礎教育既要重視數學內容形式化、抽象化的一面，又要重視數學發現、數學創造過程中具體化、經驗化的一面，全面提高學生的數學素質．

“強調本質，注意適度形式化”是此次高中數學課程改革的一個基本理念．但形式化是數學的基本特征之一，學會形式化的表達是數學教學的一項基本要求．所謂形式化的表達無非就是演繹推理的具體體現，當學生遇到一個立體幾何問題時，會對其圖形的空間構成一時無法在大腦中呈現，此時通過手工實驗是解決問題的一種有效手段.

案例22009年浙江省數學高考理科試題第17題.

如圖5，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC(端點除外)上一動點．現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足．設AK=t，則t的取值范圍是________．

圖5

此題以折疊為大背景，但命題者將固定的折疊模式改成了動態(即折痕AF的變化)的折疊．事實上，學生只要將自己的草稿紙折疊一下(現場確實也有學生這么做)，就會發現此題是將立體幾何的三角關系(cosα·cosβ=cosγ)中的3個角處在“反置”的背景下.

總之，在實施立體幾何教學過程中，需要學生手工實驗操作，教學時機比比皆是，譬如研究幾何體的表面積、截面等等.教材的編寫本身基于培養學生的自主設計、自主探索、自主歸納和總結，立足于培養學生的思維和能力．誠然，制作模型與實驗操作過程需要花費一定的教學時間，有時甚至會影響一堂課的教學任務，但這都只是暫時的.只要教師立足學生的發展，在課堂上作適時、必要的引導，再以多媒體輔助，這樣會使教學內容更充實、更形象，必定會提高學生的學習效率．另一方面，給學生手工實驗操作的機會，它不僅能喚醒學生的主觀能動性，使學生的情感得以交流，個性得到張揚，而且也使學生的主體地位得以實現．

教師教得輕松活潑，學生學得扎扎實實，這不就是新課程所倡導的嗎？動手學幾何，何樂而不為呢？

[1] 徐利治.徐利治談數學方法論[M].大連:大連理工大學出版社，2008.

[2] 波利亞.怎樣解題：數學思維新方法[M].上海:上海科技教育出版社，2007.