解析交點圓系方程的幾何意義
——讀《兩圓無交點，圓系為何意》有感

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(中山紀念中學 廣東中山 528454)

解析交點圓系方程的幾何意義
——讀《兩圓無交點，圓系為何意》有感

●姚華鵬

(中山紀念中學 廣東中山 528454)

筆者閱讀了文獻[1]后，對作者的研究精神深表敬意.不過,筆者認為文中給出的結論似乎有些牽強，以至于作者自己也承認結論沒有實際意義.因此,筆者對“兩圓相離、內含時,圓系方程沒有實際意義”的說法心存疑慮.很多中學數學競賽資料提到交點圓系方程，但是均未能給出交點圓系方程的由來.對此筆者近期思索了一些相關問題，特撰文與大家商榷，以期通過定義距徑平方差揭開圓系方程的面紗.

若圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4Fgt;0),配方后成為標準方程,即

因此

圖1 圖2

當點P在圓內時，如圖2所示，過點P引線段PC的垂線，交圓C于點M，N(此時,弦MN是圓內過點P的最短弦).由垂徑定理知

|PM|2=MC2-PC2=R2-PC2,

從而

于是

當定點P在圓上時，亦有

到圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(半徑為r1)與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(半徑為r2)的距徑平方差之比為-λ的點S(x,y)的軌跡方程為

(1)

無論實數λ為何值，式(1)變形整理得

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+E2x+

E2y+F2)=0，

(2)

即為熟悉的交點圓系方程.交點圓系方程的幾何意義自然而出：表示到兩圓的距徑平方差之比為-λ的點的軌跡方程！

下面我們證明:方程(2)一定是某個圓的方程.

當λ≠-1時，方程(2)可化為

要證明該方程表示圓,則只需證明

(把點看成半徑為0的圓)即可.此不等式不易得證,而它實際上是要證明方程(2)有解.如果能夠證明存在滿足方程(1)的點，那么即證明了該不等式成立.考慮到對于任意的點S，有

由此可知方程(1)有解，從而方程(2)有解.因此方程(2)確實是某個圓的方程！把直線看成半徑無限大的圓，則當λ=-1時，方程(2)也表示是圓.當圓C1與圓C2有公共點時，方程(2)所表示的圓過它們的公共點.即使圓C1與圓C2相離或內含,方程(2)仍然能夠保持其本質意義.故把方程(2)稱為交點圓系方程是比較片面的！

用方程(1)能夠輕松解釋下列現象：

J(S0,C1,r1)=J(S0,C2,r2).

當點S0(x0,y0)落在兩圓外時，由它引兩圓的切線長相等.這是很多參考資料都有的結論.其實,對于λ≠-1的方程(2)對應的曲線上的點亦可類似地討論切線長的關系，方程(1)正好給出了它們之間的關系.

(2)由于方程(1)的分母不能為0，因此滿足方程(2)的解對應的點不能落在圓C2上，自然圓C2的方程無法用方程(2)表示.當λ=0時,方程(2)表示的曲線顯然是圓C1；若把方程(2)改寫成

λ1(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ2(x2+y2+

D2x+E2y+F2)=0,

則當λ2=0，λ1≠0時,就能夠表示圓C2.

因此到兩定點的距離之比為定值(正數)的點的軌跡是圓，這可以作為圓的第二定義.

[1] 劉薇，陸麗濱.兩圓無交點，圓系為何意——記一次對虛圓系的探究過程[J].中學教研(數學)，2010(1):1-2.