美國中學(xué)生數(shù)學(xué)水準(zhǔn)如何——也談二階遞歸數(shù)列

九頭鳥茶樓常客 萬爾遐

美國中學(xué)生數(shù)學(xué)水準(zhǔn)如何
——也談二階遞歸數(shù)列

九頭鳥茶樓?？?萬爾遐

1 愛數(shù)學(xué)不分初與高

美國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的水平如何?在國內(nèi)有很多傳說，其中有:美國中學(xué)數(shù)學(xué)水平很低，有許多中學(xué)生甚至不會乘法口訣.

對于此說，我一直持懷疑態(tài)度.因此我在美國期間，特別留心與美國中學(xué)生接觸.

這天我到德州大學(xué)徐步高教授家中作客，遇上一個(gè)機(jī)會，他家的老二叫麗麗的正在德州中學(xué)上美國的初中二年級.

談話間，發(fā)現(xiàn)麗麗的數(shù)學(xué)水平不凡，比如她談到數(shù)列求和問題.這在中國應(yīng)該是高中學(xué)段的數(shù)學(xué)內(nèi)容.

為進(jìn)一步了解她的水平，我當(dāng)場口述了一個(gè)題目:

有個(gè)無窮數(shù)列，它的第一項(xiàng)是1，第二項(xiàng)是3，第三項(xiàng)是第二項(xiàng)與第一項(xiàng)的差即是2;第四項(xiàng)是第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的差即是－1.就這樣下去，以后每一項(xiàng)都是前1項(xiàng)與前2項(xiàng)的差.試求這個(gè)數(shù)列前100項(xiàng)的和.

席間無紙墨，顯然要靠心算口述.

不到3分鐘，麗麗脫口說出:答案是5，就是這個(gè)無窮數(shù)列前4個(gè)數(shù)的和!

全場驚訝，因?yàn)檫@道題出自1985年美國高中數(shù)學(xué)競賽.

這豈不是說，麗麗這個(gè)初中生已經(jīng)跨越了學(xué)段，達(dá)到了高中數(shù)學(xué)水平嗎!

我笑著說:有其父必有其女!

麗麗的父親，今天的徐教授曾是萬老師的啟蒙學(xué)生，在當(dāng)年的數(shù)學(xué)競賽中曾多次奪得冠軍.麗麗更出語驚人，她說她爸爸的數(shù)學(xué)“不怎么樣”!我們聽了更是高興，由此可知麗麗現(xiàn)在的數(shù)學(xué)水平.

2 愛數(shù)學(xué) 不分師與生

我問麗麗:課堂上，老師講過這樣的數(shù)列沒有?

答:課堂上沒有講過，但我們在課外知道了這樣的數(shù)列.

問:在課外什么地方知道的?

答:校內(nèi)、外有各種數(shù)學(xué)活動，包括數(shù)學(xué)講演，數(shù)學(xué)謎宮，還有數(shù)學(xué)比賽等等.

問:是誰組織的?

答:是我們這些喜歡數(shù)學(xué)的同學(xué)自己組織的，有時(shí)也有老師參加.其實(shí)，老師知道的并不比我們多!

問:老師知道的并不比你們多!你能舉個(gè)例子嗎?

答:例子嗎?比如您前面說的那個(gè)數(shù)列——

有個(gè)無窮數(shù)列，它的第一項(xiàng)是a，第二項(xiàng)是b，第三項(xiàng)是第二項(xiàng)與第一項(xiàng)的差即是b－a;第四項(xiàng)是第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的差即是－a.就這樣下去，以后每一項(xiàng)都是前1項(xiàng)與前2項(xiàng)的差.試求這個(gè)數(shù)列前120項(xiàng)的和.

老師問，需要計(jì)算器嗎?我們笑了:不需要計(jì)算器，可以看出答案是0!

問:怎么看出答案是0的?

答:你看，第四項(xiàng)－a已經(jīng)是第一項(xiàng)a的相反數(shù)了，那么第五項(xiàng)就應(yīng)該是第二項(xiàng)的相反數(shù)－b，第六項(xiàng)就應(yīng)該是第三項(xiàng)的相反數(shù)a－b.

于是，這個(gè)數(shù)列前6項(xiàng)和就是0，前120項(xiàng)的和當(dāng)然也是0!

問:啊呀，我算服了你們，我也服了你們的那位老師，因?yàn)椤八赖牟⒉槐饶銈兌?”你既然這樣喜歡數(shù)學(xué)，那么將來想去干什么，將來想當(dāng)數(shù)學(xué)家嗎?

答:沒有想這些，現(xiàn)在只知道數(shù)學(xué)很好玩.

……

回國之后，面對我國中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“盛況”，不禁自問:

那些夜以繼日備課上課的教師們，為什么那樣樂于替代學(xué)生學(xué)習(xí)?

3 初中生能解的高考題

我國的許多高考題，實(shí)際上是初中問題，比如下面的這道高考題:

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足

這本來是道數(shù)列問題，高考出題人為了增加考題難度，人為地扯到了“函數(shù)問題”.

按“美國初二學(xué)生麗麗”敘述問題的方式，則是:

有個(gè)無窮數(shù)列，它的第一項(xiàng)是1，第二項(xiàng)是0，第三項(xiàng)是第二項(xiàng)與第一項(xiàng)的差;第四項(xiàng)是第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的差即是－1.就這樣下去，以后每一項(xiàng)都是前1項(xiàng)與前2項(xiàng)的差.試求這個(gè)數(shù)列的第2011項(xiàng).

按“美國初二學(xué)生麗麗”解決問題的方法，則是:

2011=6×335+1

所以，第2011項(xiàng) =第1項(xiàng) =1.即中國考題答案f(2009)=1.

華羅庚先生說:神奇化易是良訓(xùn)，易化神奇不足提!

而我國當(dāng)前的高考命題，經(jīng)常干出這種“易化神奇”的勾當(dāng).比如上面的這道高考出題，就在這樣地“易化神奇”:

在出題人看來，把簡單表示成復(fù)雜，就是難度;能把整數(shù)1和0用對數(shù)式表示，就能體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)水平!

4 初中生能解的高賽題

賽題 一列整數(shù)a1，a2，a3，……，對每個(gè)n等于或大于3 都有 an=an－1－ an－2，若該數(shù)列的前 1492 項(xiàng)的和為1985，前1985項(xiàng)的和為1492，那么前2001項(xiàng)的和是多少?

這是美國的一道數(shù)賽題目，不分初中高中.在中國，有許多數(shù)賽培訓(xùn)教材引進(jìn)了這道題目，并研究出許多讓初中生、高中生也看不懂的解法，如什么“特征根法”或“復(fù)數(shù)通項(xiàng)法”.

“初二學(xué)生麗麗”雖然不知道這些“妙法”，但我相信，她能輕松地解答此題，因?yàn)樗軙?、減法!

略解 設(shè)第一項(xiàng)a，第二項(xiàng)b，則第三項(xiàng)為b－a;而第四項(xiàng)到第六項(xiàng)依次為前三項(xiàng)的相反數(shù)，所以S6=0.

我體會到:美國數(shù)賽，重在活動;中國數(shù)賽，重在功利!

美國數(shù)學(xué)競賽的教材，比較重視數(shù)學(xué)過程，重視問題的提出;中國數(shù)學(xué)競賽的教材，比較重視結(jié)果，重視問題的解答.

比如上面這道數(shù)學(xué)競賽題，在美國看到的相關(guān)材料是:這個(gè)問題是怎么產(chǎn)生的?我能發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題嗎?我還能想到什么問題?

而在中國看到的相關(guān)材料是:這個(gè)問題是怎么解答的?我能解答這個(gè)問題嗎?我還能想到什么更妙的解法?

于是，在相關(guān)的教材上，出現(xiàn)了對此題的各式各樣的奇妙解法.比如:

慢說是初中生，就是沒有經(jīng)過專門訓(xùn)練的普通高中生走到這里，也只能望而止步了.數(shù)學(xué)競賽在中國已經(jīng)成了職業(yè)賽，與大眾無緣!

20110523)