有關字母取值范圍問題的歸類解析

有關字母取值范圍問題的歸類解析

525136 廣東省化州市文樓中學 李培華

含字母的取值范圍問題是近年中考或各類大小數學競賽的熱點內容，也是許多同學解題的難點所在.怎樣求解含字母取值范圍問題呢?下面本文結合例題歸納五類常見含字母取值范圍問題的求解方法，供同行參考.

1 代數式中含字母的取值范圍問題

例1 如果2m，m，1－m這三個實數在數軸上所對應的點是按從左到右依次排列，那么m 的取值范圍是

＿＿.

2 方程(組)中含字母的取值范圍問題

解 將原方程去分母得2x+6a=3x－(x－6)整理得0·x=6－6a，

∵原方程無解，∴6－6a≠0解得a≠1，

故a的取值范圍是a≠1.

解 原方程兩邊都乘以(x+2)(x－2)，

得2m= －x(x+2)+(x+2)(x－2)，

整理得2m=－2x－4解得x=－2－m，

得x≤－2，依題意得－2－m≤－2解得m≥0，

∵x=－2－m是原分式方程的根，

∴ －2－m≠2且－2－m≠－2即m≠－4且m≠0，

故m的取值范圍是m＞0.

例7 已知關于x的方程4x2+4(m－1)x+m2=0有兩個非零實數根x1和x2，若x1與x2同號，則m的取值范圍是＿＿.

解 ∵方程有兩個非零實數根

點評 求解方程(組)中含字母的取值范圍問題的步驟是先把該字母看作已知量，并用該字母的代數式表示出原方程(組)的根，然后再結合題設有關條件進行求解.如例4先按一元一次方程的解法化成最簡形式，再根據無解這一條件進行分析，從而求得結果;例5先用所要求字母的代數式表示原方程組的解，然后利用原方程組的解的非負性建立不等式組中求解;例6先把所要求的字母視為已知量，按照分式方程的解法求解原方程的根，再結合分式方程有解的條件(最簡公分母不為0)，并把所求得的解代入題設不等式組去尋找所要求解的字母的取值范圍，例7則用判別式確定所要求解字母的取值情況，再由根與系數關系式確定兩根同號時所要求解字母的取值范圍.

3 不等式(組)中含字母的取值范圍問題

例8 如果不等式3x－m＜0的正整數解是1，2，3，

則m 的取值范圍是＿＿.

由已知可得不等式組的解集為{x|2－3a＜x＜21}，其中只有4個整數解，

從而知這四個整數解只能是17，18，19，20.

點評 求解不等式(組)中含字母的取值范圍問題的步驟是先把該字母看作已知數，并用含該字母的代數式表示出不等式組的解集，然后再結合題意建立新的不等式(組)進行求解.

4 函數關系式中含字母的取值范圍問題

例11 若直線y=3x－1與y=x－k的交點P在第四象限，則k 的取值范圍是＿＿.

點評 (1)對于函數自變量的取值范圍問題一般應考慮下面三點:

①分式的分母不為0;

②二次根式中的被開方數為非負數;

③零指數冪或負指數冪的底數不等于0.

(2)對于函數交點坐標中含字母的取值范圍問題，應利用坐標點P(x，y)的以下性質求解:若P(x，y)在第一象限，則有;若 P(x，y)在第二象限，則有若P(x，y)在第三象限，則有;若 P(x，y)在第四象限，則有

(3)對于銳角三角函數中銳角的取值范圍問題，應結合題設三角函數值，聯想特殊角的三角函數值，并根據此三角函數的增減性(sinα和tan α隨α的增大而增大，cosα隨α的增大而減小)尋找此銳角的取值范圍.

5 幾何圖形中含(動點)字母的取值范圍問題

例13 已知兩圓相交，其圓心距為6，大圓半徑為8，則小圓半徑r 的取值范圍是＿＿.

解 ∵ 兩圓相交，∴0＜8－r＜6，解得2＜r＜8，

故小圓半徑r的取值范圍是2＜r＜8，

例14 如圖1所示，已知∠BAC=45°，一動點 O在射線AB上運動(點O與點 A不重合)設OA=x，如果半徑為1的⊙O與射線AC有公共點，則x的取值范圍是

圖1

解 過點O作AC的垂線，垂足為F.若F在⊙O上即OF=1時，OA最大，由∠OAF=∠BAC=45°，∠OFA=90°得 OA =，

又∵點O與點A不重合，∴x＞0.

圖2

解 連接BE，依題意知，∠BDE=90°，

∵△ABD是等邊三角形，

∴△ABD的周長是6×3=18，當點C無限趨近于點B時，四邊形ABCD的周長無限接近于△ABD的周長，但始終比△ABD的周長大，即p＞18;當點C與點E重合時，四邊形ABCD的周長最大，由勾股定理得BE =6，從而有p =18+6，故 p的取值范圍是18＜p≤18+6，即選 C.

點評 求解幾何圖形中含(動點)字母的取值范圍問題的數學思想是極限思想，其求解關鍵在“以靜觀動”，即把動點放到極端位置上去考慮動點字母的取值范圍.如例14和例15把動點置于兩個極端位置去尋找字母的最大值和最小值，從而有效地求解(動點)字母的取值范圍問題.

20110323)