由感應電荷巧解電磁感應問題

徐正恒

(衡陽縣第一中學 湖南 衡陽 421200)

電磁感應是高中物理的重點內容，常常與其他內容，特別是與力學內容的綜合應用時，涉及到受力分析、運動狀態分析以及圖像問題，要用到電學、力學和數學的很多知識.由于物體在安培力作用下的運動一般是變速運動，常常要運用微元法和數學累積求和求解，運算繁雜，稍有不慎很難得到正確的答案.但是如果根據安培力的沖量，從感應電荷入手，運用動量定理可以避免繁雜的數學運算，巧妙地解答電磁感應問題，很快得到正確答案.下面通過兩個例子的對比分析，感受它給解題帶來的便捷.

圖1

【例題1】(2007年高考江蘇卷)如圖1所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強磁場，豎直方向磁場區域足夠長，磁感應強度B=1 T，每一條形磁場區域的寬度及相鄰條形磁場區域的間距均為d=0.5 m.現有一邊長l=0.2 m、質量m=0.1 kg、電阻R=0.1 Ω的正方形線框MNOP以v0=7 m/s的初速從左側磁場邊緣水平進入磁場，求：

(1)線框MN邊剛進入磁場時受到安培力的大小F；

(2)線框從開始進入磁場到豎直下落的過程中產生的焦耳熱Q；

(3)線框能穿過的完整條形磁場區域的個數n.

解析：(1)線框MN邊剛進入磁場時有

(2)分析線圈的受力情況和運動情況：水平方向間隔的(線圈進、出磁場過程)受到安培力的作用，所以線圈水平方向間隔的做減速、勻速運動，直至速度減到零；豎直方向只受重力作用，一直做自由落體運動.線圈最終運動狀態是豎直下落.設線框豎直下落H時，速度為vH.

由能量守恒得

自由落體規律

vH2=2gH

解得

(3)解法一：

只有在線框進入和穿出條形磁場區域時，才產生感應電動勢，線框部分進入磁場區域x時有

在t→t+Δt時間內，由動量定理

-FΔt=mΔv

求和

解得

穿過條形磁場區域的個數為

可穿過4個完整條形磁場區域.

解法二：

線框穿過第1個條形磁場左邊界過程中

根據動量定理

解得

同理線框穿過第1個條形磁場右邊界過程中有

所以線框穿過第1個條形磁場過程中有

設線框能穿過n個條形磁場，則有

解得

可穿過4個完整條形磁場區域.

解法三：

對線圈水平方向由動量定理得

即

又線圈每通過一個磁場區域線圈中產生的電荷量為

所以可穿過完整條形磁場區域的個數為

可以看出，解法三從安培力的沖量出發運用動量定理，以感應電荷量作橋梁解題，過程簡捷，思路清晰，答案易于得出，是一種好方法.

【例題2】如圖2所示，很長的光滑磁棒豎直固定在水平面上，在它的側面有均勻向外的輻射狀的磁場.磁棒外套有一個質量均勻的圓形線圈，質量為m，半徑為R，電阻為r，線圈所在磁場處的磁感應強度為B.讓線圈從磁棒上端由靜止釋放沿磁棒下落，經一段時間與水平面相碰并反彈，線圈反彈速度減小到零后又沿磁棒下落，這樣線圈 會不斷地與水平面相碰下去，直到停留在水平面上.已知第一次碰后反彈上升的時間為t1，下落的時間為t2，重力加速度為g，不計碰撞過程中能量損失和線圈中電流磁場的影響.求：

(1)線圈第一次下落過程中的最大速度vm；

(2)第一次與水平面碰后上升到最高點的過程中通過線圈某一截面的電量 ；

(3)線圈從第一次到第二次與水平面相碰的過程中產生的焦耳熱Q.

圖2

解法一：

(1)線圈第一次下落過程中有

E=B·2πRv

mg-BI·2πR=ma

可知線圈做加速度減小的加速運動，當a=0時，速度最大，代入求得

(2)反彈后上升的過程中某一時刻，由牛頓運動定律得

mg+BI·2πR=ma

在一段微小時間Δt內，速度增量為Δv=aΔt，通過線圈截面電荷量為Δq=IΔt,則

(3)反彈后上升的過程中某一時刻，由牛頓運動定律得

在一段微小時間Δt內，速度增量為Δv=aΔt，線圈上升高度為Δh=vΔt，則線圈可上升的最大高度h為

線圈到達最高點后，下落過程中的某一時刻，由牛頓運動定律得

在一段微小時間Δt內，速度增量為Δv=aΔt，線圈下降高度為 Δh=vΔt.則線圈第二次下降到水平面時的速度為

v=∑Δv=

本過程中線圈中產生的熱量為線圈動能的損失

化簡得

解法二：

(1)線圈第一次下落過程中有

E=B·2πRv

mg-BI·2πR=ma

可知線圈做加速度減小的加速運動;當a=0時，速度最大，代入求得

(2)第一次反彈至最高點，由動量定理得

所以

(3)對上升過程

對下落過程

又上、下過程中通過線圈的電荷量相等，即

所以

v=g(t1+t2)-vm

根據能量守恒得

故

不難看出，方法二解題更簡捷，答案能很快得出，是一種好方法.

從以上兩個例題的對比分析和解答，能夠感受到以安培力的沖量推出的感應電荷量為橋梁，運用動量定理解答有關安培力作用下電磁感應的動力學問題，可以大大優化解題方法，簡化解題步驟，達到事半功倍的效果.