數值分析課程中逼近法的教改探索

[摘要]數值分析強調實用性，其計算方法是尋求近似解與精確解之間的平衡。講授好數值分析課程，既能加強學生的科學計算能力，又能提高學生對數學應用問題的理解。逐次逼近法的思想滲透于數值分析課程的始終，本文從連續問題離散化數值求解和離散問題連續化數據處理兩個方面出發，描述教學中如何使學生建立起逼近思想的開拓思維，探討數值分析課程的教學方法及提高教學質量的手段。

[關鍵詞]科學計算；數值分析；逐次逼近法

[中圖分類號]G642.4[文獻標識碼]A[文章編號]1005-4634(2011)05-0058-03

0引言

科學計算是利用數值計算方法解決科學研究和工程應用問題，已與理論研究和實驗分析并列為人類探索未知世界的三大手段。數值分析將應用數學和計算機科學相結合，研究數學問題求解的數值計算方法，其難點是能使用有效可行的計算方法來描述客觀事物的規律并控制計算誤差，重點是逼近論的思想、技巧與方法論的掌握，主要任務是算法的設計和理論分析，結果是問題的近似解，目標是獲得問題的高精度數值解。在實際問題中合理選擇數值方法是非常重要的，有些算法在理論上雖然不夠嚴格，但應用中也行之有效。

在教學過程中，理論分析與計算方法應緊密結合，將理論應用于實踐，著重研究解決數學問題的數值計算方法，達到解決實際問題的目的。引導學生對算法的計算復雜性進行分析，鼓勵學生大膽進行算法的設計與改進，進行研究性學習，培養創新意識，最終實現創新。

1數值分析中的逐次逼近法

利用近似值逐步逼近精確值的方法就是逐次逼近法，幾乎所有的數值分析方法都依賴于逼近思想。逐次逼近思想體現了科學計算中以時間換計算精度的原則，在解決比較困難的數學問題時，逐次逼近法可以起到化難為易、化繁為簡的作用，不能解析或精確求解的問題能用逼近方法近似和簡化，求出滿足精度要求的近似解。在工程應用中遇到的諸如非線性方程求根、數值積分、微分方程求解等連續問題很難求得其解析解，但可用離散化方法，讓連續性問題變成離散問題，將解在變量空間離散成一系列孤立的迭代點，采用數值計算方法求出迭代點處的近似值，從而求得問題的近似解。離散問題連續化是根據離散數據構造一個簡單且易于計算的函數代替原有的復雜函數或數據，其中插值方法是用較簡單的函數逼近比較精確的數據，節點處的插值函數值等于所給數據值；數據擬合是用最好的函數逼近數據，允許節點處的值不準確成立但整體效果能達到最優。

在數值分析課程的教學過程中，讓學生理解并掌握逐次逼近的原理和方法，培養其獨立分析問題和解決問題的能力，對學生在工程應用中科學計算能力的培養能起到事半功倍的效果。教學過程中，還應對數值分析課程的知識體系整體把握，授課時才能從廣度、深度上進行縱深聯系和延伸。從問題的實際背景入手，分析計算方法的思路及理論依據，保持各章節間的緊密聯系，引導學生找出各知識點之間的聯系和不同之處，分析各種計算方法并發現其優缺點。

1.1連續問題離散化的逐次逼近法

離散化思想是數值計算的一個基本思想，離散方法的優劣直接關系到數值計算的效果。部分離散化逼近法能夠預先設置較高的精度，如求非線性方程根的Newton法、數值積分的復化求積和Romberg積分法等，當近似值滿足精度要求時停止迭代計算，得到所求問題較高精度的近似解。但也有些離散化逼近法是不能預先設置較高精度的，如求非線性方程根的Newton割線法、微分方程的數值求解法等，用這些方法求解數學應用問題時，其精度是固定的，預先設定的太高精度一般不能達到，只能利用逐次逼近法獲得較好的計算結果。

在講解到非線性方程求根時，先講清Newton法是用線性化的思想，將在近似值處用一階Taylor公式做逼近構造的逐次逼近法，為避免求導計算采用了簡化Newton法、為擴大初值的選取范圍采用了Newton下山法、當求導數有困難時用差商近似代替微商得到了Newton割線法。割線法也稱為弦截法：

，k=1，2，3，

教學過程中，應特別闡明當序列接近收斂時，相近的數與，與作減法運算時將會損失有效數位，產生很大的計算誤差。所以，應用時常令 ，迭代公式改寫為。計算時，隨著迭代過程的進行，||的值將會不斷地減少，當||的值達到精度要求或其值在增加時，停止計算，得到較好的近似解。

例1求在[0.5，0.6]內的根，誤差限。解Newton法迭代公式：，取初值=0.55，迭代進行到第3步達到精度要求，得近似根=0.567143290。

Newton割線法迭代公式：，

迭代進行到第5步時||的值增大了，停止計算，得近似根=0.567143362，只能達到的精度。

不能預先設置較高的精度是割線法的缺點，但不需計算導數又是割線法的最大優點，所以割線法也是一種應用相當廣泛的非線性方程求根方法。講解割線法時，將誤差分析中的避免兩個相近的數做減法運算，以減少有效數位的損失；避免分式的分母數量級遠小于分子的數量級，以減少計算誤差的擴散進行聯系和滲透，既能讓同學們回顧誤差分析的知識，又能讓同學們充分理解Newton割線法使用時的局限性。

1.2離散問題連續化的逐次逼近法

在許多實際問題及科學研究中，各因素之間是通過觀測或實驗得到一些離散數據來表達其關系，借助于已有的數據，利用連續化的逐次逼近法來研究和發現其內在規律的成本遠低于實驗成本。教學過程中，需向學生闡明的是，幾乎所有的離散問題連續化方法不能預先設定太高的誤差精度。所以，在進行多項式插值或擬合時，常選擇那些具有繼承性的逐次逼近法進行數值計算，能較好地解決多項式次數的選擇和精度設置的問題，以獲得較好的近似效果。有承襲性的循環迭代是計算領域最重要、最不可缺的算法。

引入插值函數的思想時，先說明Taylor插值多項式只在某一點及其附近能近似地表示函數，缺陷是近似區間小，求高階導數復雜；將區間分成個小段，在每個小段上利用Taylor插值引入lagrange插值多項式，其優點是形式對稱易于編制程序，缺點是不具有繼承性；用差商構造的Newton插值具有繼承性；用帶導數的插值條件構造的Heimite插值具有較高的連續可微性；但使用插值函數解決實際問題時發現可能出現Runge震蕩現象，實用中就用分段插值和樣條來插值解決相關問題。在后續內容學習數值積分時，需用Lagrange插值構造Newton-Cotes求積公式、用Hermite插值構造Gauss型求積公式。

由Newton插值的繼承性，常利用被插值點附近的節點作低次插值，逐步增加插值節點個數，提高插值多項式的次數來提高精度。考慮相鄰兩次多項式值之差 ||=||，隨著節點個數的增加，多項式次數的提高，該值將不斷地減小，當該絕對值達到精度要求或其值在增加或節點用完時停止計算，得到較好的計算結果。

在講多項式擬合時，講明當提高擬合多項式的次數時，新正則方程的解與原來求得的值毫不相關，所有的多項式系數需要重新計算，將增加很大的計算工作量；而且，法方程的系數矩陣可能是病態矩陣。由此引入正交多項式作逐次曲線擬合，使方法既具有繼承性又能克服病態性。構造正交多項式

，k=0，1，2，

其中，， ， 。隨著多項式次數的提高，曲線擬合的平方誤差將不斷地減小，當平方誤差達到精度要求或其值在增加或數據用完時停止計算，得到最佳的曲線擬合多項式。

例2設有數據如表2所示，用Newton插值求0.60處的近似值，并用正交多項式擬合該組數據。

一次擬合：=1.75360+1.70784(0.5)= 0.89968+1.70784，平方誤差為0.00392；

二次擬合：=1.75360+1.70784(0.5)+ 0.84366[(0.5)20.125]=1.00514+0.86424+ 0.84366，平方誤差為0.000274；

三次擬合：=1.75360+1.70784(0.5)+ 0.84366[(0.5)20.125]+0.27893[(0.5)30.2125(0.5)]=0.99991+1.0142+0.42527+ 0.27893，平方誤差為0.0000007；

0.6)=1.92438，0.6)=1.82736，0.6)= 1.82171。

在實際教學中，需特別聲明插值的優點是能取得數據的局部最優，而數據擬合的優點是能使數據整體達到最優。教學中增加不同數據處理方法的總結與比較，有助于學生更好把握各種數據處理方法的特點，提高學生對實際問題作數據處理的能力。

2結束語

通過上述循序漸進的講授，使學生領悟到逼近理論的由來及逼近理論的建立，使學生不僅能完整地掌握逐次逼近法的理論知識體系，更重要的是使學生建立并掌握逐次逼近的思想與方法，如何在正確的思想指導下分析解決問題，避免學生學習數學理論知識的枯燥。多年來的教學實踐證明這種教學方式的教學效果非常好，激發了學生的濃厚學習興趣及潛能，課堂活躍，開拓思維，極大地提高了教學質量。

參考文獻

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