走進數學課堂,探討習題設計

認知心理學認為：“學生學習過程是一個把教材知識結構轉化為自己認知結構的過程.”有效的練習可以推動這個過程的順利完成.課堂教學是一種師生雙方參與的動態(tài)變化的過程，每一個學生都是生動、獨立的個體，是課堂上主動求知、主動探索的主體；而教師是這個變化過程的設計者、組織者、引導者和合作者，是為學生服務的.課堂練習不是對所學新知的簡單重復，而是要成為學生掌握知識，形成技能，發(fā)展能力，培養(yǎng)興趣的廣闊天地.教師要用習題設計的藝術吸引學生的心，使他們有鍛煉和展示自己才能的機會.那么，習題設計的主要特征是什么呢？

一、目的性

所選習題的目的要明確，通過習題的講解和分析，本節(jié)課主要鞏固哪些概念，訓練哪些解題方法，突破學生在分析上的哪些障礙，教師都要心中有數.

圖1

【例1】 如圖1，點D、E在BC上.（1）當FD∥AB，FE∥AC時，△ABC∽△FDE嗎？為什么？（2）AB#8226;EF=AC#8226;DF，請你添加一個條件，使△ABC∽△FDE.

分析：此題可以先引導學生復習相似三角形的三個判定定理，弄清在不同條件下定理的適用性.第（1）題根據“兩直線平行”得到兩角關系，所以只考慮用判定定理1；第（2）題出現邊與邊之間的關系，可考慮用判定定理2、3.

練習本題，不僅復習了相似三角形的判定定理，還給出了一種基本的解題方法，而且培養(yǎng)了學生的解題能力.

二、層次性

在一個班內，都有不同層次的學生，他們接受知識的能力也不同.在習題的設計中，要根據學生掌握的能力，把一個比較難的問題分解成一個個小問題，把難度降低，讓各個層次的學生都有收獲.

【例2】 “一元一次方程”的概念教學設計：

（1）巧妙引導——快速、準確地達到一般性理解.

觀察下列方程，并歸納出它們的共同屬性：

①x=1；②2x=x-3；③12x=6；④x+13=0.

在學生對“一元一次方程”感性認識之后，要求學生閱讀課本，對照課本中的“一元一次方程”的定義，檢查自己在認識上的不足，從而對它有了一般性的認識.

（2）提供變式——啟發(fā)誘導下達到批判性理解.

當學生對概念有了一般性的認識之后，教師就可以從多角度提出變式.

判斷下列方程是否為一元一次方程，并說明理由：

①x-y=1;②x+2y=6;③x2+3=4;④1x=9;⑤x＞1.

這類問題不僅能夠加深學生對概念的理解，更讓學生進一步弄清了它的內涵和外延.

（3）探索問題——努力達到更深的理解.

通過上面兩步的引導，再進一步設問，讓學生在探索中深刻理解“一元一次方程”的概念.

①關于x的方程(m-1)x+6=7，當m 時，方程為一元一次方程；

②試證明:關于x的方程(a2+1)x+6=10，不論a為何值，原方程都是一元一次方程.

經過這樣循序漸進的思維活動，學生就逐步掌握學習概念的方法.

三、針對性

習題設計要根據本班學生的實際學習情況，有針對性地圍繞本節(jié)課的重點、難點和學生容易出現的錯誤來設計，供學生分析、理解.

【例3】 A、B兩地的距離是80公里，一輛公共汽車從A地開出3小時后，一輛小汽車也從A地出發(fā)，它的速度是公共汽車的3倍.已知小汽車比公共汽車遲20分鐘到達B地，求兩車的速度.

分析：在數學的學習活動中，學生比較怕應用題，特別是分式應用題.在路程問題中，他們對“早出”、“晚到”等時間問題很難準確做出判斷.“公共汽車開出3小時后，小汽車才出發(fā)”說明公共汽車比小汽車行駛的時間多3小時；“小汽車比公共汽車遲20分鐘到達B地”說明公共汽車比小汽車行駛的時間少20分鐘（即13小時）.

本題有利于克服學生存在的考慮分析問題的錯誤性，針對性很強.

四、典型性圖2

典型的習題對一種類型的問題或一種方法具有指導的作用.選好并講透典型題，分析研究它的典型意義，以點帶面，可增強學生綜合歸納能力.

【例4】 在△ABC中，點E在AB上，點D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD與CE相交于點F，試判斷△AFC的形狀，并說明理由.

分析：三角形的形狀一般可以通過邊和角來判斷.想判斷△AFC的形狀，就要從△AFC的邊和角考慮.

像這樣抓住典型，并教之以方法，對學生掌握一類問題是非常有幫助的.

五、開放性

習題的開放性，是指能引導學生發(fā)散思維的一種練習，選好開放性的習題讓學生訓練，可以預防學生思維定勢，培養(yǎng)學生尋求最佳解題方法.它在解決數學問題時有三種基本形式：一題多解、一題多變、一法多用.在數學教學中，要讓學生對同一種數學問題從不同的角度去觀察、去思考、去分析，以尋求不同的解決問題的方法，進行“一題多解”.也可以讓學生對數學問題通過改變條件或結論，進行“一題多變”，使學生廣泛聯想和類比，從而培養(yǎng)學生思維的靈活性和變通性.同時還可以讓學生“一法多用”，使學生在學習中做到舉一反三，觸類旁通.

1.一題多解

【例5】 已知方程(x-1)(x-2)=k2，k為實數，且k≠0，不解方程，求證：方程有一個根大于1，另一個根小于1.

方法一：原方程化為x2-3x+2-k2=0，Δ=1+4k2＞0，設兩不等實根為α、β，則(α-1)(β-1)=αβ-(α-β)+1=2-k2-3+1=-k2＜0，∴原方程有一根大于1，另一根小于1.

方法二：∵k2＞0，∴(x-1)(x-2)＞0，∴x＜1或x＞2(＞1)，原命題成立.

方法三：設拋物線y=(x-1)(x-2)-k2與x軸的兩交點為A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)，則對稱軸是x=112，AB=1+4k2＞1，∴x1＜1，x2＞2(＞1)，得證.

這三種證法思路靈活新穎，富有創(chuàng)新意識.一題多解不僅可以加強新舊知識之間的聯系，增強各知識之間的融會貫通，還能達到以少勝多、事半功倍的效果.

2.一題多變

【例6】 順次連接結四邊形四邊中點得到什么圖形？

變式1：順次連結菱形四邊中點得到什么圖形？

變式2：順次連結矩形四邊中點得到什么圖形？

變式3：順次連結等腰梯形四邊中點得到什么圖形？

變式4：順次連結正方形四邊中點得到什么圖形？

分析：以上變式都是對原題的發(fā)散，其解法顯然相同.從這幾個變式可以得出：如果四邊形的對角線互相垂直，順次連結四邊形四邊中點得到的是矩形；如果四邊形的對角線相等，順次連結四邊形四邊中點得到的是菱形；如果四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連結四邊形四邊中點得到的是正方形；如果四邊形的對角線既不垂直也不相等，順次連結四邊形四邊中點得到的是平行四邊形.

通過一題多變，可以起到觸類旁通的作用.

六、綜合性

數學習題的選擇，還要注意綜合性，將代數部分、幾何部分有關知識聯系起來，可以開闊學生視野，提高綜合能力，從而全面掌握知識.

【例7】 某工藝廠為迎接建國60周年，設計了一款成本為20元∕件的工藝品投放市場進行試銷．經過調查，其中工藝品的銷售單價x(元/件)與每天銷售量y(件)之間滿足如圖3所示關系.

（1）求y(件)與銷售單價x(元/件)之間的函數關系式；

（2）當地物價部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？

圖3

分析：由數形結合思想，可知y與x之間的函數關系式是一次函數，由待定系數法可求出表達式為y=-10x+800.設總利潤為w，可求出w與x之間的函數表達式為w=-10(x-50)2+9000，再結合二次函數的增減性和x的范圍（x≤45），即可求出最大利潤.

在中學教學中，我們不可能把“數”和“形”完全孤立地割裂開，也就是說代

數問題可以幾何化，幾何問題可以代數化，“數”和“形”在一定條件下可以互相轉

化、互相滲透.

總之，在數學課上設計好習題，能達到舉一反三、事半功倍的效果，并使學生熟練掌握數學在解決實際問題中所必需的技能和技巧，是培養(yǎng)學生良好思維品質的又一有效途徑.



參考文獻

［1］馬小為.初中數學應用開放題演練［M］.西安：未來出版社，2001，7.

［2］趙立才.新編中考總復習數學［M］.延吉：延邊大學出版社，2009，9.

（責任編輯 金 鈴）

“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”