論數學的“歸納”與“直覺”

直覺就是直接的覺察，是人們自覺或者不自覺考慮某一個問題時，在頭腦中突如其來的一種創造性.有人問發明大王愛迪生，為什么會有那么多發明.他沒有正面回答，只是隨手從口袋里掏出一本筆記本，上面畫了許多奇怪的設計圖或者斷斷續續的字句.原來那些都是愛迪生的直覺，他有什么好的念頭就立即記了下來，所以才取得了那樣傲人的成績.由此可以看出人的知識有兩種，一種是直覺的，一種是邏輯的，它們都扮演著重要的角色.

下面舉個例子：

【例1】 解方程：3x+4x=5x.

分析：直覺1：從整體上感覺3，4，5是一組勾股數，即x=2是原方程的一個解.

直覺2：此題常規方法難以求解，x=2應是其唯一解.

直覺3：題設為指數方程，證明x=2是唯一解，指數函數的單調性可切中要害.

最終解得的結果果然是x=2.通過上面的例子充分說明了直覺在數學中的重要性.

直覺歸納法是一種較高層次的歸納，是一種直覺思維的過程，人們從幾個隨機的例子中發現某種共同的性質和關系，于是頓悟出某種共同的性質和關系，并把這種性質或關系推廣到整個事件中去.亞里士多德把直覺歸納法稱為第二種歸納法.有這樣一個例子，一個人在偶然的機會注意到月球亮的一面朝著太陽，他由此推斷出月球發光是由于太陽的反射.這的確不是簡單的枚舉歸納，是借助直覺猜想的直覺歸納.

直覺歸納法是一種從感覺經驗中發現“本質”的能力，是直覺洞察的方式之一.亞里士多德就是一位很有直覺洞察能力的人，他是一位卓有成效的分類學家，他能通過直覺觀察把諸多生物加以分類.

歸納直覺是一種非邏輯思維，它需要有“理智的勇氣”、“精明的誠實”、“明智的克制”.在數學解題中，運用歸納直覺，雖然是有風險的，但仍然值得重視.

【例2】 設a1，a2，…，an是一組正數，證明：

a2(a1+a2)2+

a3(a1+a2+a3)2+…+

an(a1+a2+…+an)2＜1a1.

分析：本題直接用數學歸納法來證有些困難.我們用直覺歸納探路，先取n分別為相鄰的兩個正整數（1除外）.

取n=2，則由原題知：

1a1-a2(a1+a2)2＞0.①

取n=3，則由原題知：

1a1-

a2(a1+a2)2+

a3(a1+a2+a3)2

＞0，

即

1a1-a2(a1+a2)2

-

a3［(a1+a2)+a3］2＞0.②

由①②式的結構可以猜想：存在一個正數m，使得1a1-a2(a1+a2)2＞m＞0③且m-a3［(a1+a2)+a3］2

＞0④.

這個正數m是什么？考察③④式的結構可以猜想：m=1a1+a2，

即1a1-a2(a1+a2)2＞1a1+a2.

進而猜想：

1a1-

a2(a1+a2)2+

a3(a1+a2+a3)2

＞1a1+a2+a3.

更一般地，1a1-

a2(a1+a2)2+

a3(a1+a2+a3)2+…+an(a1+a2+…+an)2

＞1a1+a2+…+an.

這個結論可以用數學歸納法證明出來，充分證明了直覺在數學歸納法中的作用.

又如，費馬大定理：當整數n>2時，關于x，y，z的不定方程xn+yn=zn無正整數解.

哥德巴赫猜想：1.每個不小于6的偶數都可以表示為兩個奇素數之和；2.每個不小于9的奇數都可以表示為三個奇素數之和.

……

他們都是得益于直覺歸納法，都是由日常中見到的幾個隨機的例子得到的隨機的猜想，具有超前性.哥德巴赫猜想就是一個由“意外”產生的，從一些隨機的結論中得到直覺歸納的猜想.

（責任編輯 金 鈴）

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