矩陣分析實現(xiàn)試卷均衡分配的隨機回避原則

摘要:試卷與評委間的映射涉及到一個隨機回避原則，即某校的評委不能評閱本單位的試卷，且試卷的分配又要求隨機性，以保證分配的公平性。通過設(shè)計一個簡單算法實現(xiàn)該功能，提出隨機回避矩陣的概念，對試卷的均衡分配作初步的討論。

關(guān)鍵詞:回避原則;隨機序列;隨機回避矩陣

中圖分類號:TP

文獻標識碼:A

文章編號:1672-3198(2010)13-0332-01

隨機回避是評判體系中一個重要的原則，通常作為一個剛性約束條件。在這個剛性約束條件的基礎(chǔ)上，建立相關(guān)的指標體系對已滿足隨機性原則、回避原則的映射進行篩選，從而實現(xiàn)試卷的均衡分配。隨機回避原則的實現(xiàn)是一個不容忽視的問題。現(xiàn)已知在大學生數(shù)學建模競賽A題的評卷工作中，M個評委(M個評委來自不同的學校)要完成N份試卷的評分，競賽試卷來自K個學校，第j個學校有競賽試卷份，為節(jié)省人力，每份試卷只須由其中P( P< M

(1)每份試卷由P位不同的評委評閱的選定方案是隨機的，記為條件a。

(2)由回避原則，每個評委只能評閱非本單位的試卷，記為條件b。

1 隨機回避矩陣的提出

試卷與評委間的一一對應關(guān)系可以利用一個二維的數(shù)組來表示。隨機回避矩陣是一個滿足隨機性原則和回避原則的0-1矩陣B，在此問題中行序號代表評委號，列序號代表試卷號。B(i，j)=1表示第i個評委評閱第j份試卷。計算機科學發(fā)展到今天，在生活中的應用越來越廣泛。計算機強大的計算能力在處理隨機問題和統(tǒng)計問題上具有不可替代的優(yōu)越。同樣隨機回避矩陣的生成容易通過編程來實現(xiàn)，下面以某份試卷j的評委選定為例，闡述算法的基本思路:

(1)產(chǎn)生一個1—M的隨機整數(shù)序列randperm(M);

(2)從第一步生成的由M個數(shù)組成的隨機整數(shù)序列中依次選擇P個與該試卷不沖突的評委號，可生成一個與這P個評委號對應含M個元素的0-1行向量(在P個評委號對應的位置賦值1，其余位置賦值0);

(3)按以上步驟可以生成1份試卷滿足條件a和b的評委選定方案。

在上述算法中，回避原則表現(xiàn)在:P個評委號是與該試卷所在單位必須是不沖突的。而隨機性表現(xiàn)在:第二步先設(shè)定一種選擇機制，選擇機制并不唯一，也可以是由M個數(shù)組成的隨機整數(shù)序列中從尾到頭依次選擇P個與該試卷不沖突的評委號，前提是這種選擇機制不影響評委號生成的隨機性，可以證明第二步提出的選擇機制能夠滿足隨機性原則。

2 隨機回避矩陣的生成

上面討論了某份試卷j的評委選定，由于共有N份試卷，需要生成N個這樣的行向量形成矩陣。現(xiàn)做如下處理:按任意設(shè)定的學校順序給該學校的試卷和評委相應編號定位，產(chǎn)生一個矩陣BN×M;若學校有一個評委參與試卷評分，設(shè)前i-1個學校總共有試卷sum1(i)份，第i個學校的試卷數(shù)量為l(i)份，前i+1個學校(包括第i+1個學校)試卷總量為sum2(i)份。此評委的不可及范圍為第sum1(i)+1到第sum2(i)+1號間的l(i)試卷。該不可及范圍正是反映評委號與試卷所在單位號不沖突的條件。像這樣的隨機回避矩陣可以生成任意個(可以是相同的)，通過建立試卷均衡分配條件的指標，從中篩選出符合條件的矩陣，制定出合理的試卷均衡分配方案。

值此，隨機回避矩陣已建立。通常試卷的均衡分配要求包含兩個方面:

(1)量的均衡:各評委工作量即評閱的試卷數(shù)量應均衡(即基本一致);

(2)均衡分散:任意兩份試卷評閱中，出現(xiàn)相同評委越少越好;同一個學校試卷不要集中在一個評委手中，即同一單位的試卷在評委中的分布應盡量均衡。建立試卷均衡分配條件的指標體系后，即可從大量的隨機回避矩陣中篩選出滿足要求的方案。

3 結(jié)語

許多離散問題的分析需用到0-1矩陣。0-1矩陣形式簡單，表現(xiàn)力強，可拓展性好，便于處理，應用廣泛。隨機回避矩陣的提出利用了0-1矩陣表現(xiàn)力強等優(yōu)點，隨機回避矩陣作為試卷均衡分配的基礎(chǔ)工作，其簡單的風格便于深層次的討論，不失為一種優(yōu)秀的處理手段。

MATLAB自身的函數(shù)庫中就包含隨機序列生成的randperm( )函數(shù)，基于MATLAB這一平臺處理隨機序列和矩陣方面的優(yōu)勢受到廣大科學計算用戶的青睞。用MATLAB語言編程生成隨機回避矩陣使得工作效率得到顯著提高。隨機回避原則是試卷均衡分配的一個基本原則，隨機回避矩陣則較好地解決了隨機回避問題。

參考文獻

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