2n階微分方程的多點邊值問題正解的存在性研究

摘要利用錐拉伸和壓縮不動點定理，探討2n階微分方程的多點邊值問題正解的存在性。并且對以往的四階兩點邊值問題進行了推廣。

中圖分類號:O175文獻標識碼:A

0 引言

今年來非線性邊值問題有了重大的發展，但其還局限為討論低階微分方程正解的存在性。因而邊值問題的研究很少涉及多點邊值問題。為彌補這方面的不足，本文利用范數形式的錐拉伸與壓縮不動點定理，研究了2n階微分方程的多點邊值問題正解的存在性。

利用下面的方程組:

假定f :[0，1]€譏1€譏2€住瓈譏n→[0，+∞)是連續映射，若i是奇數，則Ii=[0，+∞);若i是偶數，則Ii=(—∞，0]。

引入，

其中，f0，f∞f 0，f ∞∈{0，∞}，且上述極限關于u1，u2，…un-1是一致收斂的。

1 引理

引理1.1

unk(t) + yk(t) = 0，0

kuk(0) - ku'k (0) = ai(k) uk ( i)

kuk(1) + ku'k(1) = bi(k) uk( i ) ，k =1，2，…，n

(2)

令k(t) = k + kt，k(t) = k + k + kt

則

其中，k，k，k，k≥0，k = kk + kk + kk >0，則方程組(2)存在唯一解。如果△k ≠ 0，k ∈C[0，1]，其中，

引理1.2 如果，

△k<0，k - ai(k) k( i)>0，k - bi(k)k( i)>0，yk∈C[0，1]，yk≥0

則uk(t)≥0，且當∈(0，1/2)時，有

其中，

而

引理1.3，設，1，2是Banach E 中的有界子集，12，A:P∩1\\2→P全連續，如果滿足條件:

①||Ax||≤||x||，x∈P∩1;||Ax||≥||x||，x∈P∩2;或

②|Ax||≥||x||，x∈P∩1;||Ax||≤||x||，x∈P∩2y

那么，A在P∩1\\2中必然具有不動點。

2 結果

方程組(1)等價于下面的積分方程:

Tu(t) = ∫10G1(t，s)(- mn-1(s)) ds + A1(- mn-1(s))1(t) + B1(- mn-1(s)) 1(t)

其中mn-1(s) = ∫10G2(t，s)(- mn-2(s)) ds + A2(- mn-2(s))2(t) + B2(- mn-2(s)) 2(t)

m1(s) = ∫10Gn(t，s)(-1)nf(t，u(t)，u''(t)，…，u(2n-2)(t))ds - An((-1)nf)n(t) - Bn((-1)nf)n(t)

令

定義:||u|| = |u(2n-2)|(t)，u∈E，則( E，||·||是Banach空間。

定義:

則P是E中的錐，且T(P)P，可以證明，T是全連續算子。

定理1，若f 0 = 0，f ∞ = ∞則邊值問題(1)至少存在一個正解。

證明:因為f 0 = 0，因此可選取H1>0，使得對任意的t，u1，u2，…un-1，當0

有下式成立:f (t， u1，u2，…un-1，(1)n-1p)≤p

其中，滿足

因此如果，u∈P，||u|| = H1，則，

(-1)n-1(Tu)(2n-2)(t) = ∫10Gn(s，s)f(s，u(s)，u''(s)，…，u(2n-2)(s)) + An(f )n(t) + Bn(f )n(t)≤

其中，

因此，(-1)n-1(Tu)(2n-2)(t)≤||u||，i.e.||Tu||≤||u||

令1 = {u∈E|||u||

又令f ∞ = ∞，則存在 ，，t0∈(0，1)，使其對任意的t，u1，u2，…un-1，un-1，≥的滿足:f (t，u1，u2，…un-1，un-1，(-1)n-1p)≤p

其中，t0滿足

令則u∈P，||u|| = H2就表示

則(-1) n-1(Tu)(2n-2)(t0) =

∫10Gn(t0，s)f (s，u(s)，u''(s)，…，u(2n-2)(s))ds + An(f )n(t) + Bn(f )n(t)

≥∫1-Gn(t0，s)f (s，u(s)，u''(s)，…，u(2n-2)(s)) ds

≥∫1-Gn(t0，s) [(-1) n-1(u)(2n-2)(s)ds]

≥

因此，||Tu||≤||u||，u∈P∩2由引理1.3可知，T在P∩1\\2中至少存在一個不動點。

定理2 若f 0 = ∞，f ∞ = 0則邊值問題(1)至少存在一個正解。

證明:由于f 0 = ∞，因此可選取H1>0，使其對任意的t，u1，u2，…un-1，0

其中

則u∈P，||u|| = H1有，

(-1) n-1(Tu)(2n-2)(t0) =

∫10Gn(t0，s)f (s，u(s)，u''(s)，…，u(2n-2)(s)) ds+ An(f )n(t0) + Bn(f )n(t0)

≥∫10Gn(t0，s)f (s，u(s)，u''(s)，…，u(2n-2)(s)) ds

≥

≥≥||u||

令1 = {u∈E|||u||0，對任意的t， u1，u2，…un-1，p>，使得

f (t， u1，u2，…un-1，(1)n-1p)≤p

其中>0，且滿足

則如果f有界，也就存在N對任意的(t， u1，u2，…un-1)∈[0，1]€譏1€譏2€住瓈譏n-1，有

f (t， u1，u2，…un-1，(1)n-1p)≤N

則可選擇:

對于u∈P，||u|| = H2有

(-1) n-1(Tu)(2n-2)(t0) =

∫10Gn(t，s)f (s，u(s)，u''(s)，…，u(2n-2)(s)) ds+ An(f )n(t) + Bn(f )n(t)

≤≤ H2

所以||Tu||≤||u||成立。

如果f是無界的，則定義一個新函數:f *[0，+∞)→[0，+∞)。

其中，f *(r) = max{f (t， u1，u2，…un-1，(-1)(n-1)p) | t ∈[0，1]，0≤(-1)(i-1)ui≤kir，i=1，2，…，n-1，0

可知f *(r)單調不減，且= 0和f *(r)≤r。

選擇，

對t ∈[0，1]，0≤(-1)(i-1)ui≤kir，i=1，2，…，n-1，0

f (t， u1，u2，…un-1，(1)n-1p)≤f *(H2)

令u∈P，||u|| = H2則||u(2i-2)||∞≤kiH2 ，i=1，2，…，n-1，則

(-1) n-1(Tu)(2n-2)(t) =

∫10Gn(t，s)f (s，u(s)，u''(s)，…，u(2n-2)(s)) ds+ An(f )n(t) + Bn(f )n(t)

≤

≤≤H2

因此無論是哪種情形，令 2= {u∈E|||u||

參考文獻

[1]Liu Bing Positive solutions of fourth-order two point boundary value problems[J].Appl Math compu，2004，148:407-420.

[2]Liu yansheng. Multiple positive solutions of nonlinear singular boundary value problem for four-order equarion[J].Appl Math Lett，2004，17:747-757.

[3]Wei Yansheng.A class of fourth order singular boundary value problems[J].Appl Math Compu，2004，153，865-884.

[4]Zhang Xingguang， Liu LiShan. Positive solutions of fourth order four-point boundary value problems with plaplacian operator[J].J Math Anal Appl，2007，336(2):1414-1423.

[5]Guo Daiun. Nonlinear function analvsis[M].2nd ed.Jinan:Shandong Sci Tech Publishing，2001.