空間LP( )中集合列緊性的一個(gè)充要條件

摘要把空間LP[a，b]中集合列緊性的判別法推廣到LP()(Rn)中，得到空間LP()(Rn)中集合列緊性的一個(gè)充要條件。

中圖分類號(hào):013文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

1 空間LP[a，b]中集合列緊性的判別法

定理1空間LP[a，b](1

(1)A是有界集，即存在常數(shù)K>0，使對(duì)任意的x∈A，有∫ab|x(t)pdt≤Kp|;(2)對(duì)任給的>0，存在 = ( = 0)，只要0

2 討論LP[a，b]上有界集的列緊性的充要條件推廣到LP()(Rn)，得到LP()中集合A列緊性的一個(gè)充要條件

定理2空間LP()(Rn)中集合A列緊的充要條件是下列條件成立:

(1)集合A是有界的，即存在常數(shù)M>0，使得任意x∈A， ||x|| = (∫|x(t)P|dt)≤M;(2)當(dāng)>0。 = ()>0當(dāng)0<||h||<時(shí)， x(t) ∈A，有 ||xh - x||<。為了證明結(jié)論，我們先做一些準(zhǔn)備工作。

x∈LP作相應(yīng)的函數(shù)，為使上面的積分有意義，我們規(guī)定當(dāng)t時(shí)，xh(t)顯然在上連續(xù)，故xh ∈LP()。現(xiàn)在證明:

設(shè)q是p的相伴數(shù)，則

故①式成立，在(1)中，將x(t)換成x(t) - y(t)，xh(t)換成xh(t) - yh(t)得到:即(xh，yh)≤(x，y)這里

下面證明上述結(jié)論:

證明:必要性A的有界性顯然，現(xiàn)證條件(2)，根據(jù)A為列緊的假定，對(duì)于任意>0，A有有限的/3-網(wǎng)，由于C()按LP()的距離空間在LP()中稠密，故不妨設(shè)B(BC())中的元素都是連續(xù)函數(shù)，且共有N個(gè)，記為1(t)，2(t)，…，N(t)。設(shè)每個(gè)函數(shù)k(t)在區(qū)間外均為0。由于k(t) (k = 1，2，…，N)連續(xù)，故當(dāng)h→0時(shí)，

關(guān)于t一致成立，因此當(dāng)||h||→0時(shí)，(k)h按LP()的距離收斂于k . ((k)h，k) → 0(||h||→0)②

由于{k}Nk=1是有限集，由②知，對(duì)于>0。 = ()>0。當(dāng)0<||h||<時(shí)，((k)h，k)→/3，對(duì)于k = 1，2，…，N同時(shí)成立。任取x∈A，則存在某個(gè)k∈B(1≤k≤N)，使得(x，k)

(xh，x)≤(xh，(k)h) + ((k)h，k) + (k，x)

≤2 (k，x) + ((k)h，k) < +=

因此條件(2)的必要性成立。

充分性利用條件(1)可證明，對(duì)每個(gè)給定的h，x∈A所對(duì)應(yīng)函數(shù)xh組成Ah是等度連續(xù)的，對(duì)任意的||t1||<||t2||，t1，t2∈有

其中M是條件(1)中的常數(shù)。q為p的相伴數(shù)，由于p>1，故對(duì)于每個(gè)給定的h，Ah等度連續(xù)。現(xiàn)證明對(duì)于每一個(gè)給定的h，Ah在C()中是有界的。事實(shí)上，

于是集合Ah滿足(1)，(2)。故對(duì)于給定的||h||>0，集合在C()中列緊，由于C()中列緊點(diǎn)按C()得距離收斂，必然導(dǎo)致它按LP()得距離收斂，故Ah在LP()中也是列緊的，由條件(2)，當(dāng)||h||>0充分小時(shí)，Ah是A的一個(gè)-網(wǎng)，A為列緊的。

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