大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革探討

摘要文章分析了當(dāng)前大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的一些問題，并從高等數(shù)學(xué)中連續(xù)和可導(dǎo)關(guān)系的教學(xué)內(nèi)容以及線性代數(shù)中的線性變化和矩陣關(guān)系的教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，對大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)觀念、教學(xué)方法、教學(xué)模式、教學(xué)內(nèi)容等方面進行了具體的探討。

中圖分類號:G420文獻標(biāo)識碼:A

數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)工具，其思想方法滲透于科學(xué)發(fā)現(xiàn)和理論形成過程中。大學(xué)數(shù)學(xué)已成為高等教育的重要基礎(chǔ)課之一。隨著科技的不斷進步，當(dāng)前大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的已經(jīng)成為高等教育中的一個重要內(nèi)容。很多數(shù)學(xué)教育工作者圍繞數(shù)學(xué)教材、 教學(xué)方法、 教學(xué)手段，從教師主體，從學(xué)生主體展開了詳盡的探討和思考。但多數(shù)是方法上綜述，而從具體的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)細節(jié)上探討較少。本文從大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的多年教學(xué)經(jīng)驗中，從具體實例，對數(shù)學(xué)教學(xué)改革與讀者進行經(jīng)驗交流和探討。

1 高等數(shù)學(xué)中連續(xù)與可導(dǎo)關(guān)系的講授

同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的教材《高等數(shù)學(xué)》第84頁中，具體介紹了函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，并且得到結(jié)論:函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件。也就是說，函數(shù)在定義區(qū)間上，可導(dǎo)一定連續(xù)，反之不一定成立。

結(jié)論完全是數(shù)學(xué)語言描述，一般教學(xué)過程中，講解完基本概念和性質(zhì)以及該結(jié)論的嚴(yán)格理論證明，很少再做進一步的解釋。然而，為了加強學(xué)生的感性認識，讓學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)沒有脫離現(xiàn)實，不是空中樓閣，而是對現(xiàn)實世界從數(shù)量方面的抽象表述。筆者在講授時，通常在黑板上先畫出如下圖1三條曲線:

曲線1曲線2曲線3

圖1

從視覺直觀上容易作出判斷，曲線1和曲線2是連著沒有斷開，曲線3有斷點，沒有全部連接起來，所以曲線1和曲線2是連續(xù)曲線，曲線3不連續(xù)存在間斷。不僅是以上曲線1和曲線2，實際生活中，只要是不分離，相連著沒有間隔的直觀感性，就是數(shù)學(xué)要抽象表達的一個概念:連續(xù)。比如水是連續(xù)的，時間是連續(xù)的，對于這種人類的直觀，數(shù)學(xué)中從數(shù)量方面表述，舍棄了實際事物的具體形狀、大小、顏色、狀態(tài)、位置等等。何謂連，不分也;何謂分，不連也。這種最簡單的直觀就是數(shù)學(xué)中重要的連續(xù)概念，數(shù)學(xué)家從數(shù)量方面研究了連續(xù)，從數(shù)量方面用數(shù)學(xué)的語言進行了定義。

如果你開一輛汽車行駛，那么曲線1就可能是你汽車的軌跡線路圖，而曲線2絕不可能是行車路線圖，因為人類目前不擁有讓汽車在A點突然如此改變行駛方向的技術(shù)。曲線3有間斷，當(dāng)然也不可能是正常情況下的行車路線圖。開車行駛在曲線1的路線中，則在任意一點，汽車突然失去任何外力作用，則將沿著直線飛出去，這條線就是數(shù)學(xué)中定義的切線。但曲線2中，在點A處，如果汽車從A左邊和右邊開來，并且在A點失去外力作用，則汽車會沿著兩條不同的直線飛出去，這就是數(shù)學(xué)中定義的不可導(dǎo)點。由此可見，帶有尖點的就是不可導(dǎo)的點，所以日常生活中，用手摸去有刺感的東西一定是數(shù)學(xué)中的不可導(dǎo)的點。用手摸去有缺口的點一定是不連續(xù)的點。并且由此抽象出數(shù)學(xué)中光滑曲線的定義:若函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其圖形為一條處處有切線的曲線，且切線隨切點的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動，這樣的曲線稱為光滑曲線。

以上通過具體的實例形象地剖析準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生很容易理解并且記住可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)這一重要結(jié)論。因此，教學(xué)中充分利用直觀的幾何圖像深入淺出地講解抽象的數(shù)學(xué)概念或定理，可以幫助學(xué)生盡快地理解和掌握這些基本知識點，讓抽象的數(shù)學(xué)變得生動有趣，并且可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性。

2 線性代數(shù)中線性變換與矩陣之間對應(yīng)關(guān)系的講解

同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的教材《線性代數(shù)》32頁，討論矩陣與線性變換之間有一一對應(yīng)的關(guān)系。

為讓學(xué)生加深理解這種對應(yīng)關(guān)系，可以通過具體例題詳細說明。畫出一平面圖形，然后沿軸旋轉(zhuǎn)180度，得到原圖像的對稱圖形。圖2所示。

圖2

原圖像上的任意一點(x，y)，其關(guān)于x軸旋轉(zhuǎn)180度得到點(x， -y)。點(x，y)可以認為是1行2列矩陣，由點變換到點(x， -y)，可以看成(x，y)實施第二列元素乘以-1的列變換，則以上旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變化可以用矩陣乘法表示為:

所以矩陣就是與圖形旋轉(zhuǎn)180變換對應(yīng)。

如圖3所示，一圖形沿直線y = x，即一三象限角平分線旋轉(zhuǎn)180度，求出對應(yīng)旋轉(zhuǎn)變換的矩陣。

對于圖形上任意一點(a，b)，沿對直線y = x，即一三象限角平分線旋轉(zhuǎn)180度，得到點(b，a)。矩陣表示為:

因此矩陣就是所求的變換矩陣。

圖3

以上實例可以加深學(xué)生對矩陣的初等變換、矩陣的乘法、線性變換與矩陣的對應(yīng)的理解。教材中用一頁篇幅介紹了兩個實例，缺少用理論解決實際問題的詳細實例。注重抽象理論的體系教育，忽視了怎樣把理論用之于實踐的培養(yǎng)。

3 小結(jié)

21世紀(jì)要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維、創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力以及創(chuàng)新教育，必須從具體的教學(xué)環(huán)節(jié)出發(fā)，而不是范范地論證，需要教師在具體的教學(xué)過程中充分利用現(xiàn)代的多媒體技術(shù)，不斷探索新的教學(xué)方法，沖破傳統(tǒng)的束縛，構(gòu)造新的教學(xué)內(nèi)容和模式，加強數(shù)學(xué)實際應(yīng)用，增強學(xué)生用理論解決實際問題的能力，把傳統(tǒng)強調(diào)數(shù)學(xué)理論培養(yǎng)的思路，轉(zhuǎn)化到強調(diào)學(xué)生的實際動手能力上來。

參考文獻

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