微積分教學中滲透數學建模思想探討

摘要本文主要討論了微積分教學的一些新的想法，試圖將數學小模型引入課堂中，一方面提高數學講解的生動性，避免數學的枯燥;另一方面試圖讓學生認識到數學的用處，更有利于大學課堂數學教學的開展。

中圖分類號:O172文獻標識碼:A

對于財經類院校而言，開設數學課是必不可少的，特別是微積分，幾乎各個專業都要學習，但由于“數學的表現形式比較枯燥，且給人一種冰冷的感覺但是數學的思考都是火熱的生動活潑的。如何點燃和激起學生的火熱思考使他們能夠欣賞數學的美麗和魅力，實在是教育界的一項根本任務”。此，我們嘗試引入數學小模型這一手段，以探索微積分這一數學課程的教育動態。希望給學生提供一個更具體，更細致，更生動的全新的學習環境，力圖把主要時間和精力放在數學思想的培養、數學思維的訓練、數學知識的應用上來。本文對數學模型融入到財經類院校微積分課程的教學模式作了初步探討。

事實上，自從全國大學生數學建模競賽開賽以來《數學模型》成為了數學教育界激勵推崇的數學應用課程。數學建模是把數學與實際問題聯系起來的紐帶，利用數學語言(包括數學符號，公式，圖表，算法，程序等)重新描述實際問題中的數量關系和空間格局，它在現代化科學技術中的作用月來與受到數學界和社會各界的普遍重視，它重在培養學生應用知識和駕馭知識的能力，考察大學生的數學修養、應用能力和創新思維，使他們認識到數學在社會化發展過程中的核心作用，體會到數學的美;另一方面，通過數學建模，培養了他們應用數學知識解決實際問題的能力和借助計算機求解數學模型的能力，也提高了學生查閱資料，撰寫論文的能力。但是結合現在的實際情況，目前，該課程僅作為全院的選修課出現，有很多學生都不愿學，當然更無法體會數學的美。

數學以能解決實際問題為出發點，因此，在上課時，我們嘗試放棄一些繁瑣的證明，適當選編相應的數學模型進行案例教學，例如微分方程的教學，可以給學生簡單介紹數學建模的步驟，并以“商品廣告模型”為例可以設計如下的教學過程。

1 問題的提出

無論聽廣播還是看報紙，或是收看電視，常可看到、聽到商品廣告。隨著社會現代化的發展，商品廣告對企業生產所起的作用越來越得到社會的承認和人們的重視。商品廣告成為調整商品銷售量的有力手段，然而如何了解廣告與銷售之間的關系?如何評價不同時期的廣告效果?這些問題對于生產企業和廣告商來說都是極為重要的。下面介紹獨家銷售的廣告模型。

2 模型假設

(1)商品的銷售速度會因做廣告而增加，但這種增加是有一定限度的。當商品在市場上趨于飽和時，銷售速度趨于它的極限值，當速度達到它的極限值時，無論在做何種形式的廣告，銷售速度都將減慢。(2)自然衰減是銷售速度的一種性質，即商品銷售速度雖商品銷售率的增加而較少。(3)令s(t)表示t時刻商品的銷售速度;A(t)表示t時刻廣告水平(以費用表示);M為銷售的飽和水平，即市場對商品的最大容納能力，它表示銷售速度的上極限;為衰減因子，即廣告作用隨時間增加而自然衰減的速度，大于零且為常數。

3 模型建立

問題中涉及的是商品銷售速度隨時間的變化情況，即有

商品銷售速度的變化 = 增長 - 自然衰減

為描述商品銷售速度的增長，由模型假設(1)知，商品銷售速度的凈增長率r(s)應該是商品銷售速度s(t)的減函數，并且存在一個飽和水平M，使得r(M) = 0。為簡單起見，設r(s)為s(t)的線性減函數，則有

r(s) = p[1- ]

其中，用p表示響應函數，即廣告水平A(t)對商品銷售速s(t)度的影響能力，p為常數。于是可建立如下微分方程模型

= p[1- ]A(t) - s(t)

4 模型求解

從模型方程可知，當s(t) = M或A(t) = 0時，都有

= - s(t)

為求解該模型，選擇廣告策略為

在(0，)時間段內，用于廣告的總費用為，則B = ，代入模型方程有

+ ( + ·) s(t) = p·

令 + · = b， p· = k

則有 + bs(t) = k

其解為s(t) = Ce-bt + s0

若令s(0) = s0，則s(t) =(1 - e-bt) + s0 。

當t≥時，模型為 = - s(t)

其通解為 s(t) = Ce- t

而t = 時，有s(t) = s()，所以s(t) = s()e- t

故

5 模型討論

(1)生產企業若保持穩定銷售，即 = 0，那么可以根據模型估計采用廣告水平A(t)，即由pA(t) [1 - ] - s(t) = 0

可得到A(t) =

(2)在銷售水平較低的情況下，每增加單位廣告產生的效果比銷售速度s(t)接近極限速度M的水平時增加廣告取得的效果更顯著。

以上僅僅是一個例子，事實上，在我們講其它內容時也可以穿針引線的講一些小的模型，引導學生進行分析，如學習了閉區間上連續函數的三個定理，作為應用，介紹一些數學模型，如“椅子的擺放問題”，問題是，椅子能在不平的地面上放穩么?通過對問題的提出，抽象，簡化，在合理的假設下，將椅子轉動與坐標軸聯系起來，將腿與地面的距離用的連續函數表示。由三點確定一平面得f ()g () =0，又根據連續函數介值性定理，使該問題得到解決。解決數學問題，從解決問題的講授使學生深刻認識到數學是解決實際問題的銳利武器。作為導數應用，介紹“最佳存貯模型”。

利用課本中已有的數學理論，結合生活中一些實際的問題，對其進行數學建模，對學生而言 ，更容易接受新的數學概念，具有實用性、啟發性和直觀性。

社會在發展，時代在進步，在全社會倡導素質教育的熱潮中，作為新世紀的大學數學老師，有責任也有義務對現行的數學教學方式進行探討和研究。

基金項目:廣東商學院校級科研課題

參考文獻

[1]姜啟源.數學模型(第2版).北京:高等教育出版社，1995.

[2]王兵團.數學模型基礎.北京:清華大學出版社，北京交通大學出版社，2004.

[3]劉曉斌，向子貴等.經濟數學基礎-微積分.廣東:汕頭大學出版社，2004.